Kedudukan Filsafat Matematika

Oleh: Marsigit

Filsafat matematika mempunyai tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukan dan dasar dari obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secara ontologism obyek matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologis apakah semua pernyataan matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatu kebenaran. Mengingat bahwa hukum-hukum alam dan hukum-hukum matematika mempunyai kesamaan status, maka obyek-obyek pada dunia nyata mungkin dapat menjadi pondasi matematika. Tetapi ini masih menjadi pertanyaan besar untuk dijawab. Walaupun beberapa pemikir pada filsafat modern dari matematika menolak bagi keberadaan pondasi di dalam matematika, namun bebarapa filsuf masih tetap menaruh perhatian kepada kegiatan kognisi manusia sebagai basis bagi diletakkannya fondamen matematika. Mereka mencoba meletakkan dasar matematika pada kegiatan kognisi manusia, seperti yang dilakukan Immanuel Kant, bukan pada obyek di luar matematika.
Sementara kaum empiris dan kaum rasionalis berusaha meletakkan dasar matematika sebagai putusan epistemologis yang sah dan benar; Immanuel Kant berusaha mengembangkan bentuk dan kategori untuk menciptakan kondisi bagi dimungkinkanya kegiatan kognisi secara obyektif dari matematika. Perkembangan refleksi pengetahuan dan kognisi matematika menunjukkan bahwa setiap jaman memberikan landasan bagi matematika, namun di antara landasan-landasan tersebut tidak luput dari kritik atas kelemahan-kelemahannya. Pondasi ideal matematika dimana pendekatan deduksi maupun induksi tidak dapat dimasukkan, telah ditinggalkan dan terdapat juga resistensi dari terhadap pondasi matematika atas dasar pandangan-pandangan rasionalisme Rene Descartes.
Kant menyarankan bahwa, sebagai ganti menganggap bahwa pikiran kita menyesuaikan dengan obyek-obyek di luar diri kita, kita dapat berasumsi bahwa obyek-obyek di luar diri kita itulah uyang disesuaikan dengan pikiran kita. Kant menyatakan bahwa obyek dari pengalaman manusia, yaitu phenomena, mungkin dapat kita ketahui melalui penampakannya. Tetapi kita tidak dapat mengetahui esensi dibalik phenomena yang disebut sebagai noumena atau yang ada di dalam dirinya. Phenomena dapat di persepsi melalui bentuk sensibilitas murni yaitu ruang dan waktu. Agar dapat dipahami maka phenomena harus mempunyai karakteristik seperti apa yang terdapat di dalam kategori pemahaman manusia. Kategori-kategori itu yang meliputi aspek substansi dan hukum sebab akibat merupakan sumber dari struktur pemahaman phenomena.
Kant berpendapat bahwa tiga disiplin matematika yaitu logika, aritmetika, dan geometri sebagai cabang ilmu matematika yang saling bebas dan masing-masing bersifat sintetik. Di dalam The Critique of Pure Reason dan The Prolegomena to Any Future Metaphysics, Kant menyatakan bahwa kebenaran geometri bersifat sintetik a priori dan bukannya analitik seperti yang sekarang diyakini oleh banyak orang. Sedangkan kebenaran logika dan kebenaran yang diperoleh hanya melalui penyebutan definisi merupakan kebenaran analitik sebab mereka tergantung kepada kegiatan analitis dan kegiatan memecah keseluruhan menjadi bagian-bagian tanpa memerlukan informasi tambahan dari luar. Oleh karena itu kebenaran analitik bersifat a priori. Sebaliknya, kebenaran sintetik memerlukan kegiatan mensintesis atau mengkombinasikan dengan informasi yang lain untuk memperoleh pengetahuan yang baru.
Filsafat modern setelah masa Immanuel Kant memberikan kriteria penting bagi pondasi matematika. Beberapa kriteria tersebut misalnya pondasi matematika harus bersifat logis, pondasi matematika harus berdasarkan kepada filsafat matematika, pondasi matematika harus berdasar kepada filsafat bahasa atau pondasi matematika merupakan epistemologi matematika. Peranan Teori Pengetahuan dari Immanuel Kant dapat disoroti dari penerapan doktrin Immanuel Kant bagi aljabar dan geometri dan kesimpulannya aljabar adalah ilmu tentang waktu dan geometri adalah ilmu tentang ruang. Karena waktu dan ruang berbentuk intuisi formal maka semua pengetahuan matematika lainnya harus dipelajari dalam ruang dan waktu.