Pondasi Matematika: Dari Plato sampai Godel

Oleh: Marsigit
Jika kita berkehendak melakukan kajian atau penelitian matematika secara mendalam maka kita tidak bisa terhindar untuk melakukan sintesis-sintesis dari tesis-tesis yang ada dengan cara memproduksi antitesis-antitesisnya. Dalam sejarahnya, Aristoteles tidak sependapat dengan gurunya Plato dalam prinsip-prinsip filsafat; namun demikian jika ditilik lebih lanjut sebetulnya silang pendapat juga meliputi bidang matematika. Menurut Aristoteles, form bukanlah entitas yang terpisah dengan data empiris. Menurutnya jika kita memikirkan suatu benda tidaklah berarti bahwa konsep benda tadi akan terpisah dengan benda tadi. Menurut Aristoteles, matematika adalah idealisasi dari benda-benda; dengan melakukan idealisasi kita dapat membuat definisi, menemukan struktur matematika, menemukan logika, menemukan teorema, dan melakukan hipotesis. Jika matematika bersifat given yang sudah ada di dalam ide kita maka implikasi pandanga Plato adalah bahwa matematika bersifat aktual. Seperti kita ketahui bahwa bilangan infinit, di satu sisi dapat dipandang sebagai aktual tetapi juga dapat dipandang sebagai potensial. Pandangan yang terakhir ini kemudian ditolak oleh Brouwer sebagai kaum intuisionis untuk mengembangkan matematika intuisionisme. Menurut Brouwer di dalam mengembangkan matematika kita harus menggunakan intuisi kita, sayangnya intuisi dan pengalaman kita tidak dapat menjangkau bilangan infinit. Itulah sebabnya kaum intuisionis hanya mengembangkan matematika untuk bilangan-bilangan finit atau berhingga dan menolak bilangan infinit atau bilangan tak hingga. Selanjutnya Heyting sebagai penerus Brouwer menolak kenyataan transenden sebagai alat bukti matematika. Menurutnya, bilangan infinit merupakan salah satu kenyataan transenden.
Pandangan umum setuju bahwa kebenaran matematika merupakan kebenaran yang bersifat bersyarat “necessary truth”. Tetapi hal demikian tidak mudah kita wujudkan untuk menunjukkan kebenaran konsep-konsep bilangan tak hingga atau infinit? Bagaimana manusia yang bersifat serba terbatas mampu memikirkan hal-hal yang bersifat tak terbatas? Ada paling tidak dua pandangan bagaimana memperoleh kebanaran matematika, pertama kebenaran matematika diperoleh murni menggunakan akal pikiran, kedua kebenaran matematika diperoleh berdasarkan pengalaman. Sudah sejak lama kaum rasionalis yang dipelopori oleh Rene Descartes dan Leibniz berpendapat bahwa konsep matematika bersifat melekat “innate” pada pikiran kita; sementara John Locke dan David Hume berpendapat bahwa pengetahuan matematika diturunkan berdasarkan pengalaman inderawi. Pandangan John Locke dan David Hume diteruskan oleh John Stuart Mill sebagai seorang empiris yang berpandangan bahwa pemahaman matematika diperoleh dari pengalaman dan kebenaran matematika diperoleh dengan melakukan generalisasi kegiatan penemuan konsep-konsep empiris. Di sisi lain dengan ditemukannya Geometri non-Euclides telah membuka cakrawala para matematisi dan para filsuf untuk mengevauasi kembali konsep geometri Euclides; dalam mana telah diakui selama lebih dari 2000 tahun bahwa geometri Euclides dianggap sebagai representasi alam semesta. Dalam hal tertentu kebenaran dan pembenaran pada geometri Euclides selaras dengan apa yang di perjuangkan Mill; namun penemuan geometri non_Euclides telah menyebabkan konsep Mill dan empirisisme pun kembali dipertanyakan.
Di dalam filsafat matematika, adanya pertentangan antara kaum rasionalis dan kaum empiris menimbulkan pengakuan mendalam akan sintesis Immanuel Kant bahwa matematika adalah ilmu yang bersifat sintetik a priori. Pengetahuan matematika di satu sisi bersifat “subserve” yaitu hasil dari sistesis pengalaman inderawi; di sisi yang lain matematika bersifat “superserve” yaitu pengetahuan a priori sebagai hasil dari konsep matematika yang bersifat immanen dikarenakan didalam pikiran kita sudah terdapat kategori-kategori yang memungkinkan kita dapat memahami matematika tersebut. Namun krisis pondasi matematika tidak berhenti sampai di sini. Pada akhir abad ke 19 Cantor menemukan dan mengembangkan teori himpunan. Di dalam pengembangan teori himpunan tersebut Cantor menghadapi persoalan paradoks matematika, yang menambah panjang deretan krisis di dalam pondasi matematika. Pada awal abad ke 20, karya besar telah dicapai oleh para filsuf dan matematisi dengan diletakkannya logika sebagai pondamen matematika. Sampai akhirnya ditemukan pula paradoks dari logika; sehingga hal yang demikian menggagalkan usaha Hilbert untuk membangun matematika sebagai suatu sistem di atas satu pondasi yang kokoh. Adalah muridnya sendiri Kurt Godel yang berhasil menyimpulkan bahwa jika sistem matematika bersifat lengkap maka dia pasti tidak konsisten; dan jika sistem matematika konsisten maka dia tidak akan bisa lengkap. Era filsafat kontemporer telah mendorong para filsuf dan matematisi untuk melihat kenyataan bahwa matematika bersifat multi-facet.