Tuesday, December 23, 2008


By Marsigit
This article strives to explain philosophically on the students’ experiences on decimal numeration which were emerged in the research on The Effect of Epistemic Fidelity On Teaching Decimal Numeration With Physical Materials by Kaye Stacey et al (2001). The use of linear arithmetic blocks (LAB) was associated with more active engagement by students and deeper discussion than that of multi-base arithmetic blocks (MAB). Epistemic fidelity is critical to facilitate teaching with the models, but Stacey, K, et al (p.199-221, 2001) attributed the enhanced environment to the greater accessibility of the LAB material. This research and its results exhibits the writer to employ Greimas’ Structural Analyses, Kant’s theory of double-affection and other notions of philosophical explanation in order to uncover concepts behind the aspects of the process as well as the results of the research. The in-depth explanations of the nature of mathematical experiences, specifically about the effect of epistemic fidelity on teaching decimal numeration with physical materials, will expose not a single truth of its nature due to the fact that they will be put in the area of philosophy.
The level of philosophical discussion have their characteristics such as the need to cross-check as well as to compare with several point of views independently, to construct general theory of subject related. Mackenzie, J.S, (1917), stated that philosophy has to take account of the general results of the investigations of all sciences to endeavour or to construct a general theory. To achieve the purpose the writer employ some philosophical approaches such as interpretation, internal coherences, idealisation, comparison, analogy and description. Based on those approaches, accordingly, the writer adapts Greimas’ Hermenetics Structural Analyses to show the inter-relationship among the components of decimal numeration teaching with physical materials as it was carried out as part of the research of Kaye Stacey et al. To achieve the objective i.e the general theory of the related subject, the writer strive to implement the theory of ‘double-affection’ to the scheme of Greimas’ Hermenitics Structural Analyses with the context of the process and the results of the research, conducted by Stacey, K, et al, (2001), on the effect of epistemic fidelity and accessibility on teaching with physical material.
Greimas’ Hermenitics Structural Analyses
In that scheme, the student was put into the centre of the mathematical teaching learning activities; the teacher has a role as the ‘the sender’ as well as the ‘supporter’ in such a way that their students learn physical material as an object of learning; the ‘transaction’ between the teacher and their students happened if there is a motivation of the students to learn the objects i.e. physical material; the ‘constraints’ need to be considered and to be anticipated as well as to be found its solutions in such away that the students are able to interact with their physical material; the ‘anti-subject’ arises if there is extremely constraints such as bullying, un-expected accident etc. in such a way that the students are not able to interact with their physical material mathematical objects; the ‘receivers’ are the people or the agents that takes the benefit of the students’ interaction with their objects, therefore, the student him/herself cam be perceived as ‘receiver’.
The Myth Of Double Affection
The theory of double affection is a classical attempt to rescue Kant’s account of perceptual awareness from what is alleged to be a glaring inconsistency (Gram, S.M, in Werkmeister, W.H, 1975). According to Kant, ‘to be affected by anything ‘ is to experience the effect of an object upon the faculty of representation (ibid, p.29). Kant provides two kinds of objects which affect the subject: there are ‘thing in themselves’ which affect the self; and there are ‘appearances in themselves’ which act on our sensibility and are independent of whatever characteristics attach to our sensory receptors (Werkmeister, W.H, 1975). Facing this Kant’s notion, Gram, S.M, in Werkmeister, W.H, (1975) delivered the following argument:
“ Suppose we say that what affects our sensibility is ‘a thing in itself’. This account of what affects us, however, prevents us from distinguishing between a case in which somebody perceives an object and the quite different case in which an object exert a merely causal influence on the body of the perceiver. This can be seen by consulting an elementary fact of perception. The fact is that to perceive anything is to perceive it under ‘a certain description’. If this were not the case, then we could not distinguish between the perceiving of one object rather than another. But if we must always perceive something under a description, to say that we are affected by ‘a thing in itself’ when we perceive anything would imply that we perceive that objects satisfy certain descriptions. And this would contradict the claim that we cannot be perceptually acquainted with ‘a thing in itself’.
The above propositions were delivered to argue Kant’s description that affection as the experience of the ‘effect’ of an object on our sensory apparatus; whilst, the dilemma facing Kant’s theory has nothing to do with the quite separate issue of whether what is related to sensibility is the effect of an object rather than the object itself; and, the issue concerns the nature of the object which is immediately present to perceptual awareness rather than the casual relation in which it might stand to some further object. The notion of affection does not, however, become fully clear unless we can specify the kind of object which can stand in such a relation to our sensibility (ibid, p.29). He then erected the next dilemma as shown the following:
“If ‘a thing in itself’ can act upon our sensory organs even though we cannot perceive it to satisfy any description at all, we would not be able to distinguish between ‘the situation ‘ in which an object casually affects our bodies in certain ways and we do not perceive the effects of that action from the quite different situation in which the object exerts such as influence and we do perceive it. If the first affection is to hold between ‘a thing in itself’ and ‘an act of perceptual awareness, we would have to be able to perceive ‘thing in themselves’ under descriptions appropriate to them or obliterate the distinction between causation and perceptual awareness”.
What we can learn is that there should be any other relation between ‘thing in themselves’ and affection. Kant asserted that ‘space’ and ‘time’ are forms of our sensibility; what affects our sensibility is an object that has ‘spatial’ or ‘temporal’ characteristics i.e. a phenomenal object. If the object which affects the forms of our sensibility cannot itself have ‘spatio-temporal’ characteristics, then what affects us must, on Kant’s theory, be a thing in itself . Empirical affection does not require that the objects in our sensory field lack spatio-temporal characteristics; while, transcendental affection countenances the existence of objects which affect ego in themselves. However, the distinction between these two kinds of perception is still a myth (ibid 32-33).
Research on The Effect Of Epistemic Fidelity On Tea-ching Decimal Numeration With Physical Materials by Kaye Stacey et al (2001)
The results of the research on the effect of epistemic fidelity and accessibility on teaching with physical material (Stacey, K, et al, 2001) comes to some conclusion that: 1) the are numbers of favor differences of different model of physical material (LAB and MAB), 2) the most striking difference between the two models was their ability to model number density, with LAB found to be the superior model in this respect, 3) teaching with physical materials is an area of great difficulty for many students, 4) students did not attend to the volume relationships embedded in MAB and struggled to remember the names, rather than immediately appreciating the sense behind them, 5) MAB students experienced difficulty generalizing to numbers beyond the model due to their difficulties with volume and apparent dimensional shifts in their perceptions of the components, 6) LAB appeared to promote richer engagement in the classroom than MAB due to its greater accessibility (detail results of the research, refer to Educational Studies in Mathematics 47: 199-221, 2001).
It was acknowledged by the researchers that some manipulative materials can be distracting and open misinterpretation; teachers could overestimate the value of physical materials because they are already familiar with the concepts being presented (Ball in Kaye, et al, 2001). It also stated that, Meira (1998), the mechanical devices became ‘visible’ as things that required explanation, rather than ‘invisible’ resources for making the mathematics more accessible. Having considered those notions of the constraints in employing physical materials in teaching mathematics and having learnt the document of the process and the results of the research, the writer perceives that the research consists a lot of important critical concepts that need to be developed as the notions in the implementation of mathematics teaching as well as the notions of theoretical and or philosophical discussions. In term of theoretical concept, those important critical concepts consist of: 1) epistemic fidelity, 2) the posing problems devices, 3) the link between the features of the device and the target knowledge, 4) something objective, 5) students’ engagement, and 6) accessibility. From the explanation, it can be inferred that the objective of this paper is to investigate general theory of the aspects of mathematics teaching learning processes with the context of the process and the results of the research conducted by Stacey, K, et al, (2001), on the effect of epistemic fidelity and accessibility on teaching with physical material.
Philosophical Explanation on Mathematical Experience
In their theoretical review of the stated research, Stacey, K, et al, (2001) indicated that epistemic fidelity of the material is one of the factors influences the transparency of instructional material. They also indicated that epistemic fidelity of the material depends on the materials themselves in which the mathematical domain being represented does not depend on their use by students. Explicitly, they defined that the epistemic fidelity of an instructional material is a measure of the quality of analogical mapping between the features of the material and the target knowledge domain. Further, they stated that epistemic fidelity of a model depends on the relationship of features intrinsic in the model to target mathematical structure, and is independent of user characteristics. On the other hand, Gram, S.M. (1975) provides a clear and comprehensive statement, of the case that likely as what Stacey, K., et al infer as epistemic fidelity, that he called ‘double affection’. He claimed that what affects our sensibility is ‘a phenomenal object’; it allowing anything which has spatial or temporal characteristics to count as such an object. Further he stated that, according to Kant, sensibility is the capacity (that the researcher claimed as ‘quality’) for receiving representations through the mode in which we are affected by objects.
From those two points of view we may learn that although there similarities of the claim of the relation between subject and object of learning, although the writer could not identify what did they mean by ‘a measure of the quality of analogical mapping between the features of the material and the target knowledge domain’, except that of its category consists of excellent, good, satisfactory and unsatisfactory. If the researchers meant that epistemic fidelity is the capacity for receiving representations through the mode in which we are affected by objects, the next problem is that we need to clarify them. Kant implied that affection is to be partially defined in terms of a relation in which an object stands to certain spatio-temporal forms; and this kind of relationship is specified in terms of a connection between an object and these forms, not in term of an object exhibiting these forms and sensibility. It is important here to conclude that, according to Kant, if the object which affects the forms of our sensibility cannot itself have spatio-temporal characteristics, then what affects us must be ‘a thing in itself’(in which the researchers indicated it as ‘material in themselves’). It seemed that the researchers did not specify the affect of the different characteristics of the object in term of ‘appearances in themselves’ and ‘things in themselves’.
Next, they also indicated that the ‘accessibility’ of the materials is a collection or psychological factors that arise in the use of the materials by students but which are not specific to particular students (ibid. p. 2001); further it was stated that accessibility of a model of physical material depends on characteristics of likely users interacting with features of the model; accessibility, stands above the detailed analyses of particular tasks in particular classrooms that Meira (1998) in Stacy (2001) has traced in his quest for ‘transparency’. Accordingly, there are at least two issues (both social and psychological) that may impact of LAB and MAB. In LAB the issues consists of: 1) students’ confusing the organizer rods with the value of the component and 2) students’ confusing about the left-right positioning of the place value columns. It is clear that what the researcher infer by ‘accessibility’ is something related to the subject that what inferred by Kant as ‘sensibility’.
Differences accessibility were actually found that students in MAB group experienced confusion with remembering the new names components. There was no such confusion in the LAB group. How numbers are represented? In MAB group, the students did not understand that the components relative value is based on their volume. In term of ability to generalise beyond the model, the students were confused by the apparent dimensional shift and appeared to be looking for a forth dimension. Were the different learning outcomes related to differences in epistemic fidelity or accessibility? The LAB model was more effective on decimal numeration; the LAB model was found to more transparent model for numeration; the LAB model was more effective model of number density; the LAB model should also be better model for rounding decimal number.
In term of the differences between the group, the LAB model was more favourable and the LAB model appeared to promote richer engagement in the classroom due to greater accessibility. The Year 5 students appeared reluctant to use the MAB; it was a constant struggle to get them to use it. There was more discussion and exchange the ideas in the LAB group and there more significantly episodes of talk referring to the LAB model than the MAB model. There was evidence that LAB students spontaneously exploring new ideas, which did not occur with students using MAB. When LAB was not available, students made connections with other physical representations, such as ruler lengths and MAB; One student pointed out “LAB is another type of MAB”; “These are the exact same thing”. The LAB group scored higher than the MAB group on every measure of attitude(Likert items). In term of the attitude, the LAB group is typified by one student’s comment: ”Learning what the numbers mean –how big they were-just from length, was the best”.
The research has given the researchers an insight into the different roles of epistemic fidelity and accessibility of physical instructional material. The researchers hypothesise that epistemic fidelity is necessary for securely grounded teaching of concept with a model, whereas accessibility promotes rich classroom engagement. Epistemic fidelity and accessibility have different roles in establishment transparency. From all of those findings, the writer strives to develop the method to uncover what are there behind the concepts.
Over all, we regard to the students’ status of mathematical knowledge resulted by manipulating with physical materials, in the schema of Greimas’ Hermenetics Structural Analyses. If the distinction between the two kinds of perception is still a myth, then we can still argue it on the status of mathematical knowledge. As it was acknowledged by the researchers that some manipulative materials can be distracting and open misinterpretation; it can be explain with the theory of double-affection due to the fact that the teachers are already familiar with the concepts being presented. The writer perceives that Kant’s notion of appearance in them selves and thing in themselves are useful to explain the issues of visibility and /or invisibility of the mechanical device.
The writer emphasizes that the different context, i.e. in term of time and space as it was notified by Kant, may influence students perception of the objects. Therefore, teachers need to employ those kind of factors as supporting one in teaching learning of mathematics. The link between the features of the device and the target knowledge was very intensively to be discussed by Kant in his Critical of Pure Reason. General theory of the aspects of mathematics teaching learning processes is to pursue in term of the relation of student as a subject and physical material as an object in the schema of Greimas’ Hermenetics Structural Analyses. The effort to pursue those relationships will determine the extent of the quality of philosophical point of view.
Haryatmoko, 2004, Research Methodology, Unpublished document of his lecturing in the Post Graduate Program of Philosophy Science, Gadjah Mada University
Kant, I., 1998, Critique of Pure Reason (trans. Meiklejohn, J.M, )
Kant, I., 1998, Prolegomena to Any Future Metaphysics(trans.)
Smith, N.K., 2003, A Commentary to Kant’s Critique of Pure Reason, New York: Palgrave Macmillan.
Stacey K., 2001, The Effect Of Epistemic Fidelity On Teaching Decimal Numeration With Physical Materials by Kaye Stacey
Werkmeister, W.H., 1975, Reflections on Kant’ Philosophy,Florida: University Presses of Florida.

Monday, December 22, 2008

Pondasi Matematika: Dari Plato sampai Godel

Oleh: Marsigit
Jika kita berkehendak melakukan kajian atau penelitian matematika secara mendalam maka kita tidak bisa terhindar untuk melakukan sintesis-sintesis dari tesis-tesis yang ada dengan cara memproduksi antitesis-antitesisnya. Dalam sejarahnya, Aristoteles tidak sependapat dengan gurunya Plato dalam prinsip-prinsip filsafat; namun demikian jika ditilik lebih lanjut sebetulnya silang pendapat juga meliputi bidang matematika. Menurut Aristoteles, form bukanlah entitas yang terpisah dengan data empiris. Menurutnya jika kita memikirkan suatu benda tidaklah berarti bahwa konsep benda tadi akan terpisah dengan benda tadi. Menurut Aristoteles, matematika adalah idealisasi dari benda-benda; dengan melakukan idealisasi kita dapat membuat definisi, menemukan struktur matematika, menemukan logika, menemukan teorema, dan melakukan hipotesis. Jika matematika bersifat given yang sudah ada di dalam ide kita maka implikasi pandanga Plato adalah bahwa matematika bersifat aktual. Seperti kita ketahui bahwa bilangan infinit, di satu sisi dapat dipandang sebagai aktual tetapi juga dapat dipandang sebagai potensial. Pandangan yang terakhir ini kemudian ditolak oleh Brouwer sebagai kaum intuisionis untuk mengembangkan matematika intuisionisme. Menurut Brouwer di dalam mengembangkan matematika kita harus menggunakan intuisi kita, sayangnya intuisi dan pengalaman kita tidak dapat menjangkau bilangan infinit. Itulah sebabnya kaum intuisionis hanya mengembangkan matematika untuk bilangan-bilangan finit atau berhingga dan menolak bilangan infinit atau bilangan tak hingga. Selanjutnya Heyting sebagai penerus Brouwer menolak kenyataan transenden sebagai alat bukti matematika. Menurutnya, bilangan infinit merupakan salah satu kenyataan transenden.
Pandangan umum setuju bahwa kebenaran matematika merupakan kebenaran yang bersifat bersyarat “necessary truth”. Tetapi hal demikian tidak mudah kita wujudkan untuk menunjukkan kebenaran konsep-konsep bilangan tak hingga atau infinit? Bagaimana manusia yang bersifat serba terbatas mampu memikirkan hal-hal yang bersifat tak terbatas? Ada paling tidak dua pandangan bagaimana memperoleh kebanaran matematika, pertama kebenaran matematika diperoleh murni menggunakan akal pikiran, kedua kebenaran matematika diperoleh berdasarkan pengalaman. Sudah sejak lama kaum rasionalis yang dipelopori oleh Rene Descartes dan Leibniz berpendapat bahwa konsep matematika bersifat melekat “innate” pada pikiran kita; sementara John Locke dan David Hume berpendapat bahwa pengetahuan matematika diturunkan berdasarkan pengalaman inderawi. Pandangan John Locke dan David Hume diteruskan oleh John Stuart Mill sebagai seorang empiris yang berpandangan bahwa pemahaman matematika diperoleh dari pengalaman dan kebenaran matematika diperoleh dengan melakukan generalisasi kegiatan penemuan konsep-konsep empiris. Di sisi lain dengan ditemukannya Geometri non-Euclides telah membuka cakrawala para matematisi dan para filsuf untuk mengevauasi kembali konsep geometri Euclides; dalam mana telah diakui selama lebih dari 2000 tahun bahwa geometri Euclides dianggap sebagai representasi alam semesta. Dalam hal tertentu kebenaran dan pembenaran pada geometri Euclides selaras dengan apa yang di perjuangkan Mill; namun penemuan geometri non_Euclides telah menyebabkan konsep Mill dan empirisisme pun kembali dipertanyakan.
Di dalam filsafat matematika, adanya pertentangan antara kaum rasionalis dan kaum empiris menimbulkan pengakuan mendalam akan sintesis Immanuel Kant bahwa matematika adalah ilmu yang bersifat sintetik a priori. Pengetahuan matematika di satu sisi bersifat “subserve” yaitu hasil dari sistesis pengalaman inderawi; di sisi yang lain matematika bersifat “superserve” yaitu pengetahuan a priori sebagai hasil dari konsep matematika yang bersifat immanen dikarenakan didalam pikiran kita sudah terdapat kategori-kategori yang memungkinkan kita dapat memahami matematika tersebut. Namun krisis pondasi matematika tidak berhenti sampai di sini. Pada akhir abad ke 19 Cantor menemukan dan mengembangkan teori himpunan. Di dalam pengembangan teori himpunan tersebut Cantor menghadapi persoalan paradoks matematika, yang menambah panjang deretan krisis di dalam pondasi matematika. Pada awal abad ke 20, karya besar telah dicapai oleh para filsuf dan matematisi dengan diletakkannya logika sebagai pondamen matematika. Sampai akhirnya ditemukan pula paradoks dari logika; sehingga hal yang demikian menggagalkan usaha Hilbert untuk membangun matematika sebagai suatu sistem di atas satu pondasi yang kokoh. Adalah muridnya sendiri Kurt Godel yang berhasil menyimpulkan bahwa jika sistem matematika bersifat lengkap maka dia pasti tidak konsisten; dan jika sistem matematika konsisten maka dia tidak akan bisa lengkap. Era filsafat kontemporer telah mendorong para filsuf dan matematisi untuk melihat kenyataan bahwa matematika bersifat multi-facet.

Sunday, December 21, 2008


Resensi buku “The Philosophy of Mathematics Education”, karya Paul Ernest
Oleh: Marsigit
Para absolutis teguh pendiriannya dalam memandang secara objektif kenetralan matematika, walaupun matematika yang dipromosikan itu sendiri secara implisit mengandung nilai-nilai. Abstrak adalah suatu nilai terhadap konkrit, formal suatu nilai terhadap informal, objektif terhadap subjektif, pembenaran terhadap penemuan, rasionalitas terhadap intuisi, penalaran terhadap emosi, hal-hal umum terhadap hal-hal khusus, teori terhadap praktik, kerja dengan fikiran terhadap kerja dengan tangan, dan seterusnya. Setelah mendaftar macam-macam nilai di atas maka pertanyaannya adalah, bagaimana matematisi berpendapat bahwa matematika adalah netral dan bebas nilai ? Jawaban dari kaum absolutis adalah bahwa niai yang mereka maksud adalah nilai yang melekat pada diri mereka yang berupa kultur, jadi bukan nilai yang melekat secara implisist pada matematika. Diakui bahwa isi dan metode matematika, karena hakekatnya, membuat matematika menjadi abstrak, umum, formal, obyektif, rasional, dan teoritis. Ini adalah hakekat ilmu pengetahuan dan matematika. Tidak ada yang salah bagi yang kongkrit, informal, subyektif, khusus, atau penemuan; mereka hanya tidak termasuk dalam sains, dan tentunya tidak termasuk di dalam matematika (Popper, 1979 dalam Ernest, 1991: 132).
Yang ingin ditandaskan di sini adalah bahwa pandangan kaum absolutis, secara sadar maupun tak sadar, telah merasuk ke dalam matematika melalui definisi-definisi. Dengan perkataan lain, kaum absolutis berpendapat bahwa segala sesuatu yang sesuai dengan nilai-nilai di atas dapat diterima dan yang tidak sesuai tidak dapat diterima. Pernyataan-pernyataan matematika dan bukti-buktinya, yang merupakan hasil dari matematika formal, dipandang dapat melegitimasikan matematika. Sementara, penemuan-penemuan matematika, hasil kerja para matematisi dan proses yang bersifat informal dipandang tidak demikian. Dengan pendekatan ini kaum absolutis membangun matematika yang dianggapnya sebagai netral dan bebas nilai. Dengan pendekatan ini mereka menetapkan kriteria apa yang dapat diterima dan tidak diterima. Hal-hal yang terikat dengan implikasi sosial dan nilai-nilai yang menyertainya, secara eksplisit, dihilangkannya. Tetapi dalam kenyataannya, nilai-nilai yang terkandung dalam hal-hal tersebut di atas, membuat masalah-masalah yang tidak dapat dipecahkan. Hal ini disebabkan karena mendasarkan pada hal-hal yang bersifat formal saja hanya dapat menjangkau pada pembahasan bagian luar dari matematika itu sendiri.
Jika mereka berkehendak menerima kritik yang ada, sebetulnya pandangan mereka tentang matematika yang netral dan bebas nilai juga merupakan suatu nilai yang melekat pada diri mereka dan sulit untuk dilihatnya. Dengan demikian akan muncul pertanyaan berikutnya, siapa yang tertarik dengan pendapatnya ? Inggris dan negara-negara Barat pada umumnya, diperintah oleh kaum laki-laki berkulit putih dari kelas atas. Keadaan demikian mempengaruhi struktur sosial para matematisi di kampus-kampus suatu Universitas, yang kebanyakan didominasi oleh mereka. Nilai-nilai mereka secara sadar dan tak sadar terjabarkan dalam pengembangan matematika sebagai bagian dari usaha dominasi sosial. Oleh karena itu agak janggal kiranya bahwa matematika bersifat netral dan bebas nilai, sementara matematika telah menjadi alat suatu kelompok sosial. Mereka mengunggulkan pria di atas wanita, kulit putih di atas kulit hitam, masyarakat strata menengah di atas strata bawah, untuk kriteria keberhasilan penguasaan pencapaian akademik matematikanya.
Suatu kritik mengatakan, untuk suatu kelompok tertentu, misalnya kelompok kulit putih dari strata atas, mungkin dapat dianggap matematika sebagai netral dan bebas nilai. Namun kritik demikian menghadapi beberapa masalah. Pertama, terdapat premis bahwa matematika bersifat netral. Kedua, terdapat pandangan yang tersembunyi bahwa pengajaran matematika juga dianggap netral. Di muka telah ditunjukkan bahwa setiap pembelajaran adalah terikat dengan nilai-nilai. Ketiga, ada anggapan bahwa keterlibatan berbagai kelompok masyarakat beserta nilainya dalam matematika adalah konsekuensi logisnya. Dan yang terakhir, sejarah menunjukkan bahwa matematika pernah merupakan alat suatu kelompok masyarakat tertentu. Kaum ‘social constructivits’ memandang bahwa matematika merupakan karya cipta manusia melalui kurun waktu tertentu. Semua perbedaan pengetahuan yang dihasilkan merupakan kreativitas manusia yang saling terkait dengan hakekat dan sejarahnya. Akibatnya, matematika dipandang sebagai suatu ilmu pengetahuan yang terikat dengan budaya dan nilai penciptanya dalam konteks budayanya.Sejarah matematika adalah sejarah pembentukannya, tidak hanya yang berhubungan dengan pengungkapan kebenaran, tetapi meliputi permasalahan yang muncul, pengertian, pernyataan, bukti dan teori yang dicipta, yang terkomunikasikan dan mengalami reformulasi oleh individu-individu atau suatu kelompok dengan berbagai kepentingannya. Pandangan demikian memberi konsekuensi bahwa sejarah matematika perlu direvisi.
Kaum absolutis berpendapat bahwa suatu penemuan belumlah merupakan matematika dan matematika modern merupakan hasil yang tak terhindarkan. Ini perlu pembetulan. Bagi kaum ‘social constructivist’ matematika modern bukanlah suatu hasil yang tak terhindarkan, melainkan merupakan evolusi hasil budaya manusia. Joseph (1987) menunjukkan betapa banyaknya tradisi dan penelitian pengembangan matematika berangkat dari pusat peradaban dan kebudayaan manusia. Sejarah matematika perlu menunjuk matematika, filsafat, keadaan sosial dan politik yang bagaimana yang telah mendorong atau menghambat perkembangan matematika. Sebagai contoh, Henry (1971) dalam Ernest (1991: 34) mengakui bahwa calculus dicipta pada masa Descartes, tetapi dia tidak suka menyebutkannya karena ketidaksetujuannya terhadap pendekatan infinitas. Restivo (1985:40), MacKenzie (1981: 53) dan Richards (1980, 1989) dalam Ernest (1991 : 203) menunjukkan betapa kuatnya hubungan antara matematika dengan keadaan sosial; sejarah sosial matematika lebih tergantung kepada kedudukan sosial dan kepentingan pelaku dari pada kepada obyektivitas dan kriteria rasionalitasnya. Kaum ‘social constructivist’ berangkat dari premis bahwa semua pengetahuan merupakan karya cipta. Kelompok ini juga memandang bahwa semua pengetahuan mempunyai landasan yang sama yaitu ‘kesepakatan’. Baik dalam hal asal-usul maupun pembenaran landasannya, pengetahuan manusia mempunyai landasan yang merupakan kesatuan, dan oleh karena itu semua bidang ilmu pengetahuan manusia saling terikat satu dengan yang lain. Akibatnya, sesuai dengan pandangan kaum ‘social constructivist’, matematika tidak dapat dikembangkan jika tanpa terkait dengan pengetahuan lain, dan yang secara bersama-sama mempunyai akarnya, yang dengan sendirinya tidak terbebaskan dari nilai-nilai dari bidang pengetahuan yang diakuinya, karena masing-masing terhubung olehnya.
Karena matematika terkait dengan semua pengetahuan dari diri manusia, maka jelaslah bahwa matematika tidaklah bersifat netral dan bebas nilai. Dengan demikian matematika memerlukan landasan sosial bagi perkembangannya (Davis dan Hers, 1988: 70 dalam Ernest 1991 : 277-279). Shirley (1986: 34) menjelaskan bahwa matematika dapat digolongkan menjadi formal dan informal, terapan dan murni. Berdasarkan pembagian ini, kita dapat membagi kegiatan matematika menjadi 4 (empat) macam, di mana masing-masing mempunyai ciri yang berbeda-beda:
a. matematika formal-murni, termasuk matematika yang dikembangkan pada Universitas dan matematika yang diajarkan di sekolah;
b. matematika formal-terapan, yaitu yang dikembangkan dalam pendidikan maupun di luar, seperti seorang ahli statistik yang bekerja di industri.
c. matematika informal-murni, yaitu matematika yang dikembangkan di luar institusi kependidikan; mungkin melekat pada budaya matematika murni.
d. matematika informal-terapan, yaitu matematika yang digunakan dalam segala kehidupan sehari-hari, termasuk kerajinan, kerja kantor dan perdagangan.
Dowling dalam Ernest (1991: 93), berdasar rekomendasi dari Foucault dan Bernstein, mengembangkan berbagai macam konteks kegiatan matematika. Dia membagi satu dimensi model menjadi 4 (empat) macam yaitu : Production (kreativitas), Recontextualization (pandangan guru dan dasar-dasar kependidikan), Reproduction (kegiatan di kelas) dan Operationalization (penggunaan matematika). Dimensi kedua dari pengembangannya memuat 4 (empat) macam yaoitu: Academic (pada pendidikan tinggi), School (konteks sekolah), Work (kerja) dan Popular (konsumen dan masyarakat).
Dengan memasukkan berbagai macam konteks matematika, berarti kita telah mengakui tesis D’Ambrosio (1985: 25) dalam ‘ethnomathematics’ nya. Tesis tersebut menyatakan bahwa matematika terkait dengan aspek budaya; secara khusus disebutkan bahwa kegiatan-kegiatan seperti hitung-menghitung, mengukur, mendesain, bermain, berbelanja, dst. Merupakan akar dari pengembangan matematika. Dowling dalam Ernest (1991: 120) mengakui bahwa pandangan demikian memang agak kabur; kecuali jika didukung oleh pembenaran tradisi matematika.
Ernest, P., 1991, The Philosophy of Mathematics Education, London : The Falmer Press.

Kant on The Objectivity and Subjectivity of Knowledge

Collected from many resources by Marsigit

The Objective Form

Kant, 1788, claimed that reason is concerned with the grounds of determination of the will, which is a faculty either to produce objects corresponding to ideas, or to determine ourselves to the effecting of such objects whether the physical power is sufficient or not; that is, to determine our causality; and reason can at least attain so far as to determine the will, and has always objective reality in so far as it is the volition only that is in question. Kant argued that Practical principles are propositions which contain a general determination of the will, having under it several practical rules. They are subjective, or maxims, when the condition is regarded by the subject as valid only for his own will, but are objective, or practical laws, when the condition is recognized as objective, that is, valid for the will of every rational being. Further he indicated that the practical rule is always a product of reason, because it prescribes action as a means to the effect; but in the case of a being with whom reason does not of itself determine the will, this rule is an imperative that expresses the objective necessitation of the action and signifies that, if reason completely determined the will, the action would inevitably take place according to this rule.

According to Kant, 1788, imperatives, therefore, are objectively valid, and are quite distinct from maxims, which are subjective principles. For Kant, the objectively valid either determine the conditions of the causality of the rational being as an efficient cause that is merely in reference to the effect and the means of attaining it; or they determine the will only, whether it is adequate to the effect or not and it would be hypothetical imperatives, and contain mere precepts of skill. Further Kant noted that reason may give laws it is necessary that it should only need to presuppose itself, because rules are objectively and universally valid only when they hold without any contingent subjective conditions, which distinguish one rational being from another. Kant, 1788, claimed that the principle of determination would still be only subjectively valid and merely empirical, and would not possess the necessity which is conceived in every law that is an objective necessity arising from a priori grounds; unless, indeed, we hold this necessity to be not at all practical, but merely physical in which our action is as inevitably determined by our inclination. Kant argued that it would be better to maintain that there are no practical laws at all, but only counsels for the service of our desires, than to raise merely subjective principles to the rank of practical laws, which have objective necessity, and not merely subjective, and which must be known by reason a priori, not by experience. Kant claimed that even the rules of corresponding phenomena are only called laws of nature when we either know them really a priori or suppose that they would be known a priori from objective grounds if our insight reached further.

Kant, 1781, claimed that the categories have the function of prescribing the general form that this detailed order must take and belong to the very framework of knowledge; however, although they are indispensable for objective knowledge, the sole knowledge that the categories can yield is of objects of possible experience; they yield valid and real knowledge only when they are ordering what is given through sense in space and time. In the "Transcendental Dialectic" Kant turned to consideration of a priori synthetic judgments in metaphysics and claimed that the situation is just the reverse from what it was in mathematics and physics. Kant argued that metaphysics cuts itself off from sense experience in attempting to go beyond it and, for this very reason, fails to attain a single true a priori synthetic judgment. To justify this claim, Kant analyzed the use that metaphysics makes of the concept of the unconditioned. Reason, according to Kant, seeks for the unconditioned or absolute in three distinct spheres: first, in philosophical psychology it seeks for an absolute subject of knowledge; second, in the sphere of cosmology, it seeks for an absolute beginning of things in time, for an absolute limit to them in space, and for an absolute limit to their divisibility; and third, in the sphere of theology, it seeks for an absolute condition for all things. Kant, 1788, summed up that on the ground that we have no knowledge of any other rational beings besides man, we should have a right to suppose them to be of the same nature as we know ourselves to be that is we should really know them; then we omit to mention that universal assent does not prove the objective validity of a judgement that is its validity as a cognition and although this universal assent should accidentally happened, it could furnish no proof of agreement with the object; and on the contrary, it is the objective validity which alone constitutes the basis of a necessary universal consent.

Hegel, GWE., 1830, stated that Kant gives the name objective to what is thought, to the universal and necessary; thoughts, according to Kant, are only our thoughts that is separated by an impassable gulf from the thing, as it exists apart from our knowledge and the true objectivity of thinking means that the thoughts, far from being merely ours, must at the same time be the real essence of the things, and of whatever is an object to us. Hegel clarified that the specific ground of the categories is declared by the Critical system to lie in the primary identity of the ‘I’ in thought what Kant calls the transcendental unity of self-consciousness. Kant argued that the impressions from feeling and perception are a multiplicity or miscellany of elements and the multiplicity is equally conspicuous in their form; for sense is marked by a mutual exclusion of members and that under two aspects, namely space and time, which, being the forms, that is to say, the universal type of perception, are themselves a priori. Hegel noted Kant that this congeries, afforded by sensation and perception and must however be reduced to an identity or primary synthesis and to accomplish this the ‘I’ brings it in relation to itself and unites it there in one consciousness which Kant calls ‘pure apperception’ that is the specific modes in which the ego refers to itself the multiplicity of sense are the pure concepts of the understanding that is the Categories. Kant, 1788, designated that for it is every man's own special feeling of pleasure and pain that decides in what he is to place his happiness, and even in the same subject this will vary with the difference of his wants according as this feeling changes, and thus a law which is subjectively necessary is objectively a very contingent practical principle, which can and must be very different in different subjects and therefore can never furnish a law; since, in the desire for happiness it is not the form that is decisive, whether we are to expect pleasure in following the law, and how much. Principles of self-love may, indeed, contain universal precepts of skill, but in that case they are merely theoretical principles.

Hegel, GWE., 1830 elaborated that Kant therefore holds that the categories have their source in the ego and that the ego consequently supplies the characteristics of universality and necessity; if we observe what we have before us primarily, we may describe it as a congeries or diversity and in the categories we find the simple points or units, to which this congeries is made to converge. According to Kant, the world of sense is a scene of mutual exclusion: its being is outside itself that is the fundamental feature of the sensible; however, thought or ego occupies a position the very reverse of the sensible, with its mutual exclusions, and its being outside itself. Kant held that the ‘I’ is the primary identity at one with itself and all at home in itself and expresses the mere act of bringing that is to-bear-upon-self and whatever is placed in this unit or focus is affected by it and transformed into it. Kant claimed that the ‘I’ is as it were the crucible and the fire which consumes the loose plurality of sense and reduces it to unity and called this process as pure apperception in distinction from the common apperception, to which the plurality it receives is a plurality still; whereas pure apperception is rather an act by which the ‘I’ makes the materials that is mine.

Further, Hegel, GWE., 1830, maintained that Kant’s meaning of transcendental may be gathered by the way he distinguishes it from transcendent and the transcendent may be said to be what steps out beyond the categories of the understanding that is a sense in which the term is first employed in mathematics and thus in geometry we are told to conceive the circumference of a circle as formed of an infinite number of infinitely small straight lines. Hegel then specified that, according to Kant, characteristics which the understanding holds to be totally different, the straight line and the curve, are expressly invested with identity and another transcendent of the same kind is the self-consciousness which is identical with itself and infinite in itself, as distinguished from the ordinary consciousness which derives its form and tone from finite materials. He noted that Kant called that unity of self-consciousness as transcendental only; and Kant meant thereby that the unity was only in our minds and did not attach to the objects apart from our knowledge of them.

Hegel, GWE., 1830 indicated that Kant’s categories may be viewed in two aspects that are by sensing the perception their instrumentality to objectivity and experience and by uniting these notions to our consciousness merely in which they are consequently conditioned by the material given to them, and having nothing of their own they can be applied to use only within the range of experience; the categories originate in the unity of self-consciousness that any knowledge which is gained by their means has nothing objective in it, and that the very objectivity claimed for them is only subjective as well as that common type of idealism known as subjective idealism. According to Hegel, Kant
simply considered the abstract form of subjectivity and objectivity, and that even in such a partial way that the former aspect, that of subjectivity, is retained as a final and purely affirmative term of thought and in the second part, however, when Kant examines the application, as it is called, which reason makes of the categories in order to know its objects, the content of the categories, at least in some points of view, comes in for discussion: or, at any rate, an opportunity presented itself for a discussion of the question.

Hegel, GWE., 1830, also elaborated that in The Practical Reason, Kant defined a thinking Will as that that determines itself on universal principles in which its office is to give objective, imperative laws of freedom laws, that is, which state what ought to happen. According to Kant, the warrant for thus assuming thought to be an activity which makes itself felt objectively, that is, to be really a reason, is the alleged possibility of proving practical freedom by experience, that is, of showing it in the phenomenon of self-consciousness. According to Hegel, Kant perceived that this experience in consciousness is at once met by all that the necessitiest produces from contrary experience, particularly by the sceptical induction from the endless diversity of what men regard as right and duty that is from the diversity apparent in those professedly objective laws of freedom. Kant claimed that there must be no contradiction in the act of self- determination; however, the Practical Reason does not confine the universal principle of the Good to its own inward regulation; it first becomes practical, in the true sense of the word, when it insists on the Good being manifested in the world with an outward objectivity, and requires that the thought shall be objective throughout, and not merely subjective.

Kant, 1788, claimed that the reality of the concept of freedom is proved by an apodeictic law of practical reason, it is the keystone of the whole system of pure reason, even the speculative, and all other concepts which, as being mere ideas, remain in it unsupported, now attach themselves to this concept, and by it obtain consistence and objective reality; that is to say, their possibility is proved by the fact that freedom actually exists, for this idea is revealed by the moral law. Kant insisted that as far as speculative reason is concerned, is a merely subjective principle of assent, which, however, is objectively valid for a reason equally pure but practical, and this principle, by means of the concept of freedom, assures objective reality and authority to the ideas of God and immortality. Kant further denied objective reality to the supersensible use of the categories in speculation and yet admited this reality with respect to the objects of pure practical reason. Kant specified that there is a contradiction to try to extract necessity from a principle of experience and to try by this to give a judgment true universality without which there is no rational inference, not even inference from analogy, which is at least a presumed universality and objective necessity. Kant then insisted that to substitute subjective necessity, that is custom for objective, which exists only in a priori judgments, is to deny to reason the power of judging about the object that is of knowing it, and what belongs to it. Kant concluded that as to attempting to remedy the want of objective and consequently universal validity by saying that we can see no ground for attributing any other sort of knowledge to other rational beings, if this reasoning were valid, our ignorance would do more for the enlargement of our knowledge than all our meditation.

Kant, 1788, claimed that the principle of determination would still be only subjectively valid and merely empirical, and would not possess the necessity which is conceived in every law that is an objective necessity arising from a priori grounds; unless, indeed, we hold this necessity to be not at all practical, but merely physical in which our action is as inevitably determined by our inclination. Kant argued that it would be better to maintain that there are no practical laws at all, but only counsels for the service of our desires, than to raise merely subjective principles to the rank of practical laws, which have objective necessity, and not merely subjective, and which must be known by reason a priori, not by experience. Kant claimed that even the rules of corresponding phenomena are only called laws of nature when we either know them really a priori or suppose that they would be known a priori from objective grounds if our insight reached further.

The Subjective Forms

Chignell, 2004, described that in the Critique of the Transcendent Method, Kant asserted that the subject is endowed with a priori form is of thought or categories; while Kant notified of not acknowledging forms of existence in the external world and when we examine them well, we realize that there are forms of existence that correspond to the forms of thought. Therefore, Chignell, concluded that the form of time and space is not only a subjective form, but an objective form as well. In term of aesthetics, Kant makes clear that these are the only four possible aesthetic judgments, as he relates them to the Table of Judgment from the Critic of Pure Reason; they are purely subjective judgments, based on inclination alone. According to Kant, the beautiful and the sublime occupy a space between the agreeable and the good, therefore they are as "subjective universal" judgments.

Kant, 1790, in The Critique Of Judgment, claimed that in a judgment of taste the universality of delight is only represented as subjective. Kant supported this argument by elaborated that the particular form of the universality of an aesthetic judgment is a significant feature for the transcendental philosopher. Kant said that the taste of reflection has often enough to put up with a rude dismissal of its claims to universal validity of its judgment and capable of demanding this agreement in its universality; such agreement it does in fact require from every one for each of its judgments of taste the persons who pass these judgments not quarreling over the possibility of such a claim, but only failing in particular cases to come to terms as to the correct application of this faculty. Kant specified that a universality which does not rest upon concepts of the object does not involve any objective quantity of the judgment, except that it is subjective. Kant noted that the universality that is the expression of general validity, denotes the validity of the reference of a representation, not to the cognitive faculties, but to the feeling of pleasure or displeasure for every subject.

Kant, 1790, claimed that a judgment that has objective universal validity has always got the subjective also, that the judgment is valid for everything which is contained under a given concept, it is valid also for all who represent an object by means of this concept. Kant maintained that we feel to be associated in the mind with the representation of the object is nothing else than its subjective finality for judgment; since judgment can only be directed to the subjective conditions of its employment in general, it follows that the accordance of a representation with these conditions of the judgment must admit of being assumed valid a priori for every one. Kant said that in order to be justified in claiming universal agreement an aesthetic judgment merely resting on subjective grounds, it is sufficient to assume: first, that the subjective conditions of this faculty of aesthetic judgement are identical with all men in what concerns the relation of the cognitive faculties; and second, that the judgment has paid regard merely to this relation.

Chignell, A., 2004, The Problem of Particularity in Kant’s Aesthetic Theory, Aesthetics and Philosophy of the Arts, http://www.bu.edu/wcp/MainAest.htm
Hoover, A.J., 2004, Arguments for the Existence ofGod http://www.ditex.com/index.html
Kant, I., 1781, Critic of Pure Reason, Translatedby J.M.D. Meiklejohn
Kant, I., 1788, The Critic of Practical Reason, http://www.google.search
Kant, I., 1790, The Critic of Judgment, translated by James Creed Meredith

Arikel ini hanya diperuntukan bagi mahasiswa S2 yang sedang kuliah Filsafat Ilmu dari P. Marsigit

Monday, December 8, 2008


By Marsigit
Kant argued that mathematics is a pure product of reason, and moreover is thoroughly synthetical.1 Next, the question arises: Does not this faculty, which produces mathematics, as it neither is nor can be based upon experience, presuppose some ground of cognition a priori, 2 which lies deeply hidden, but which might reveal itself by these its effects, if their first beginnings were but diligently ferreted out? 3However, Kant found that all mathematical cognition has this peculiarity: it must first exhibit its concept in a visual intuition and indeed a priori, therefore in an intuition which is not empirical, but pure. Without this mathematics cannot take a single step; hence its judgments are always visual, viz., intuitive; whereas philosophy must be satisfied with discursive judgments from mere concepts, and though it may illustrate its doctrines through a visual figure, can never derive them from it. 4
On the other hand, Kant claimed that empirical intuition enables us without difficulty to enlarge the concept which we frame of an object of intuition, by new predicates, which intuition itself presents synthetically in experience; while pure intuition does so likewise, only with this difference, that in the latter case the synthetical judgment is a priori certain and apodeictical, in the former, only a posteriori and empirically certain; because this latter contains only that which occurs in contingent empirical intuition, but the former, that which must necessarily be discovered in pure intuition. 5 The next step, Kant questioned: "How is then it possible to intuit [in a visual form] anything a priori?" ; however, according to Kant, as an intuition is such a representation as immediately depends upon the presence of the object, it seems impossible to intuit from the outset a priori, because intuition would in that event take place without either a former or a present object to refer to, and by consequence could not be intuition.6
Kant then argued that the intuitions which pure mathematics lays at the foundation of all its cognitions and judgments which appear at once apodictic and necessary are Space and Time. 7 Accordingly, because mathematics must first have all its concepts in intuition, and pure mathematics in pure intuition, hence, mathematics must construct them. 8 Geometry is based upon the pure intuition of space; and, arithmetic accomplishes its concept of number by the successive addition of units in time; and pure mechanics especially cannot attain its concepts of motion without employing the representation of time. Kant stressed that both representations, however, are only intuitions; for if we omit from the empirical intuitions of bodies and their alterations (motion) everything empirical, or belonging to sensation, space and time still remain, which are therefore pure intuitions that lie a priori at the basis of the empirical. 9 Therefore, Kant concluded that pure mathematics, as synthetical cognition a priori, is only possible by referring to no other objects than those of the senses, in which, at the basis of their empirical intuition lies a pure intuition (of space and of time) which is a priori. Kant claimed that this is possible, because the latter intuition is nothing but the mere form of sensibility, which precedes the actual appearance of the objects, in that it, in fact, makes them possible; and yet this faculty of intuiting a priori affects not the matter of the phenomenon 10
Kant illustrated that in ordinary and necessary procedure of geometers, all proofs of the complete congruence of two given figures come ultimately to this that they may be made to coincide; which is evidently nothing else than a synthetical proposition resting upon immediate intuition, and this intuition must be pure, or given a priori, otherwise the proposition could not rank as apodictically certain, but would have empirical certainty only. 11 Kant further claimed that everywhere space has three dimensions, and that space cannot in any way have more, is based on the proposition that not more than three lines can intersect at right angles in one point. Kant argued that drawing the line to infinity and representing the series of changes e.g. spaces travers by motion can only attach to intuition, then he concluded that the basis of mathematics actually are pure intuitions; while the transcendental deduction of the notions of space and of time explains, at the same time, the possibility of pure mathematics. 12
In the Remark I, Kant elaborated that pure mathematics, and especially pure geometry, can only have objective reality on condition that they refer to objects of sense. But in regard to the latter the principle holds good, that our sense representation is not a representation of things in themselves but of the way in which they appear to us. Hence it follows, that the propositions of geometry are not the results of a mere creation of our poetic imagination, and that therefore they cannot be referred with assurance to actual objects; but rather that they are necessarily valid of space, and consequently of all that may be found in space, because space is nothing else than the form of all external appearances, and it is this form alone in which objects of sense can be given. (Immanuel Kant Prolegomena To Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible? Remark 1, 287) Sensibility, the form of which is the basis of geometry, is that upon which the possibility of external appearance depends. Therefore these appearances can never contain anything but what geometry prescribes to them. The space of the geometer would be considered a mere fiction, and it would not be credited with objective validity, because we cannot see how things must of necessity agree with an image of them, which we make spontaneously and previous to our acquaintance with them. 13
But if this image, or rather this formal intuition, is the essential property of our sensibility, by means of which alone objects are given to us, and if this sensibility represents not things in themselves, but their appearances: we shall easily comprehend, and at the same time indisputably prove, that all external objects of our world of sense must necessarily coincide in the most rigorous way with the propositions of geometry; because sensibility by means of its form of external intuition, viz., by space, the same with which the geometer is occupied, makes those objects at all possible as mere appearances. 14
Because the space of the geometer is exactly the form of sensuous intuition which we find a priori in us, and contains the ground of the possibility of all external appearances (according to their form), and the latter must necessarily and most rigidly agree with the propositions of the geometer, which he draws not from any fictitious concept, but from the subjective basis of all external phenomena, which is sensibility itself. 15
Because it would be absurd to base an analytical judgment on experience, as our concept suffices for the purpose without requiring any testimony from experience, Kant concluded that Empirical judgments are always synthetical, e.g. “That body is extended” is a judgment established a priori, and not an empirical judgment. And also, for before appealing to experience, we already have all the conditions of the judgment in the concept, from which we have but to elicit the predicate according to the law of contradiction, and thereby to become conscious of the necessity of the judgment, Kant concluded that which experience could not even teach us.16 According to Kant, Mathematical judgments are all synthetical and he argued that this fact seems hitherto to have altogether escaped the observation of those who have analyzed human reason; it even seems directly opposed to all their conjectures, though incontestably certain, and most important in its consequences. Further he claimed that for as it was found that the conclusions of mathematicians all proceed according to the law of contradiction (as is demanded by all apodictic certainty), men persuaded themselves that the fundamental principles were known from the same law. “This was a great mistake”, he said. He then delivered the reason that for a synthetical proposition can indeed be comprehended according to the law of contradiction, but only by presupposing another synthetical proposition from which it follows, but never in itself.17 To support this argument, Kant started to examined the case of addition 7 + 5 = 12. According to him, it might at first be thought that the proposition 7 + 5 = 12 is a mere analytical judgment, following from the concept of the sum of seven and five, according to the law of contradiction. However, accordingly, if we closely examine the operation, it appears that the concept of the sum of 7+5 contains merely their union in a single number, without its being at all thought what the particular number is that unites them. Therefore, he concluded that the concept of twelve is by no means thought by merely thinking of the combination of seven and five; and analyze this possible sum as we may, we shall not discover twelve in the concept. Kant suggested that first of all, we must observe that all proper mathematical judgments are a priori, and not empirical. According to him, mathematical judgments carry with them necessity, which cannot be obtained from experience, therefore, it implies that it contains pure a priori and not empirical cognitions.18
We, then, must go beyond these concepts, by calling to our aid some concrete image [Anschauung], i.e., either our five fingers, or five points (as Segner has it in his Arithmetic), and we must add successively the units of the five, given in some concrete image [Anschauung], to the concept of seven; hence our concept is really amplified by the proposition 7 + 5 = I 2, and we add to the first a second, not thought in it. Ultimately, Kant concluded that arithmetical judgments are therefore synthetical, and the more plainly according as we take larger numbers; for in such cases it is clear that, however closely we analyze our concepts without calling visual images (Anscliauung) to our aid, we can never find the sum by such mere dissection. 19
Similarly, Kant argued that all principles of geometry are no less analytical. He illustrated that the proposition “a straight line is the shortest path between two points”, is a synthetical proposition because the concept of straight contains nothing of quantity, but only a quality. He claimed that the attribute of shortness is therefore altogether additional, and cannot be obtained by any analysis of the concept; and its visualization [Anschauung] must come to aid us; and therefore, it alone makes the synthesis possible.20 Kant confronted the previous geometers assumption which claimed that other mathematical principles are indeed actually analytical and depend on the law of contradiction. However, he strived to show that in the case of identical propositions, as a method of concatenation, and not as principles, e. g., a=a, the whole is equal to itself, or a + b > a, the whole is greater than its part. He then claimed that although they are recognized as valid from mere concepts, they are only admitted in mathematics, because they can be represented in some visual form [Anschauung].21

1. A synthetic proposition is a proposition that is capable of being true or untrue based on facts about the world - in contrast to an analytic proposition which is true by definition. (From Wikipedia, the free encyclopedia)
2. A priori knowledge is propositional knowledge that can be had without experience. It is usually contrasted with a posteriori knowledge, which requires experience. Mathematics and logic are usually considered a priori disciplines. The natural and social sciences are usually considered a posteriori disciplines (From Wikipedia, the free encyclopedia)
3. Immanuel Kant, Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sect. 6.
4. This observation on the nature of mathematics gives us a clue to the first and highest condition of its possibility, which is, that some pure intuition [reine Anschauung] must form its basis, in which all its concepts can be exhibited or constructed, in concreto and yet a priori. If we can locate this pure intuition and its possibility, we may thence easily explain how synthetical propositions a priori are possible in pure mathematics, and consequently how this science itself is possible. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sec.7. para. 281
5. Pure intuition [viz., the visualization of forms in our imagination, from which every thing sensual, i.e., every thought of material qualities, is excluded]. Here intuition, being an intuition a priori, is before all experience, viz., before any perception of particular objects, inseparably conjoined with its concept. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sect. 7. para. 281
6. Hence it follows: that propositions, which concern this form of sensuous intuition only, are possible and valid for objects of the senses; as also, conversely, that intuitions which are possible a priori can never concern any other things than objects of our senses. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) sec.9 para. 282
7. Space is the form of the external intuition of this sensibility, and the internal determination of every space is only possible by the determination of its external relation to the whole space, of which it is a part (in other words, by its relation to the external sense).
8. If it proceeded in any other way, it would be impossible to make any headway, for mathematics proceeds, not analytically by dissection of concepts, but synthetically, and if pure intuition be wanting, there is nothing in which the matter for synthetical judgments a priori can be given. Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible? Sect.10 para. 283
9. Hence they can never be omitted, but at the same time, by their being pure intuitions a priori, they prove that they are mere forms of our sensibility, which must precede all empirical intuition, or perception of actual objects, and conformably to which objects can be known a priori, but only as they appear to us. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sec.10 para. 283.
10. Phenomenon is the sense-element in it, for this constitutes that which is empirical), but its form, viz., space and time. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sect.11 para 284
11. In that case, it could only be said that it is always found to be so, and holds good only as far as our perception reaches. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sect. 12 para 285
12. Without some such deduction its truth may be granted, but its existence could by no means be understood, and we must assume "that everything which can be given to our senses (to the external senses in space, to the internal one in time) is intuited by us as it appears to us, not as it is in itself." (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Sect.12 para. 285
13. It would be quite otherwise if the senses were so constituted as to represent objects as they are in themselves. (Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Remark I, para 287
14. Immanuel Kant Prolegomena to Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Remark 1 , para. 287
15. In this and no other way can geometry be made secure as to the undoubted objective reality of its propositions against all the intrigues of a shallow Metaphysics, which is surprised at them [the geometrical propositions], because it has not traced them to the sources of their concepts. (Immanuel Kant Prolegomena To Any Future Metaphysics , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible?) Remark I, para. 288
16. Existence and Reality(Kant e-text reading I) Texts For Discussion Page: Prolegomena to Any Future Metaphysics Preamble, Section 2): Kant's argument in support of his view that all properly mathematical judgments are synthetic a priori judgments )
17. Kant suggested that first of all, we must observe that all proper mathematical judgments are a priori, and not empirical. According to him, mathematical judgments carry with them necessity, which cannot be obtained from experience, therefore, it implies that it contains pure a priori and not empirical cognitions. (Existence and Reality(Kant e-text reading I) Texts For Discussion Page: Prolegomena to Any Future Metaphysics Preamble, Section 2): Kant's argument in support of his view that all properly mathematical judgments are synthetic a priori judgments )
18. Existence and Reality(Kant e-text reading I: Texts For Discussion Page: Prolegomena to Any Future Metaphysics Preamble, Section 2: Kant's argument in support of his view that all properly mathematical judgments are synthetic a priori judgments )
19. ibid.
20. ibid.
21. What usually makes us believe that the predicate of such apodictic judgments is already contained in our concept, and that the judgment is therefore analytical, is the duplicity of the expression, requesting us to think a certain predicate as of necessity implied in the thought of a given concept, which necessity attaches to the concept. But the question is not what we are requested to join in thought to the given concept, but what we actually think together with and in it, though obscurely; and so it appears that the predicate belongs to these concepts necessarily indeed, yet not directly but indirectly by an added visualization [Anschauung]. (Existence and Reality(Kant e-text reading I) Texts For Discussion Page: Prolegomena to Any Future Metaphysics Preamble, Section 2): Kant's argument in support of his view that all properly mathematical judgments are synthetic a priori judgments )

Sunday, December 7, 2008

Hubungan antara Filsafat dan Matematika?

Oleh: Marsigit
Matematika dan filsafat mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman Yunani Kuno. Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf, metodenya juga banyak diadopsi untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kita bahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus sebagai sorang filsuf, misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert, G¨odel, and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika mempunyai peranan hingga sampai era filsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudian para filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logika modal”, yang kemudian dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan analisis bahasa. Salah satu titik krusial yang menjadi masalah bersama oleh matematika maupun filsafat misalnya persoalan pondasi matematika. Baik matematikawan maupun para filsuf bersama-sama berkepentingan untuk menelaah apakah ada pondasi matematika? Jika ada apakah pondasi itu bersifat tunggal atau jamak? Jika bersifat tunggal maka apakah pondasi itu? Jika bersifat jamak maka bagaimana kita tahu bahwa satu atau beberapa diantaranya lebih utama atau tidak lebih utama sebagai pondasi? Pada abad 20, Cantor diteruskan oleh Sir Bertrand Russell, mengembangkan teori himpunan dan teori tipe, dengan maksud untuk menggunakannya sebagai pondasi matematika. Namun kajian filsafat telah mendapatkan bahwa di sini terdapat paradoks atau inkonsistensi yang kemudian membangkitkan kembali motivasi matematikawan di dalam menemukan hakekat dari sistem matematika.
Dengan teori ketidak-lengkapan, akhirnya Godel menyimpulkan bahwa suatu sistem matematika jika dia lengkap maka pastilah tidak akan konsisten; tetapi jika dia konsisten maka dia patilah tidak akan lengkap. Hakekat dari kebenaran secara bersama dipelajari secara intensif baik oleh filsafat maupun matematika. Kajian nilai kebenaran secara intensif dipelajari oleh bidang epistemologi dan filsafat bahasa. Di dalam matematika, melalui logika formal, nilai kebenaran juga dipelajari secara intensif. Kripke, S. dan Feferman (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) telah merevisi teori tentang nilai kebenaran; dan pada karyanya ini maka matematika dan filsafat menghadapi masalah bersama. Di lain pihak, pada salah satu kajian filsafat, yaitu epistemologi, dikembangkan pula epistemologi formal yang menggunakan pendekatan formal sebagai kegiatan riset filsafat yang menggunakan inferensi sebagai sebagai metode utama. Inferensi demikian tidak lain tidak bukan merupakan logika formal yang dapat dikaitkan dengan teori permainan, pengambilan keputusan, dasar komputer dan teori kemungkinan.
Para matematikawan dan para filsuf secara bersama-sama masih terlibat di dalam perdebatan mengenai peran intuisi di dalam pemahaman matematika dan pemahaman ilmu pada umumnya. Terdapat langkah-langkah di dalam metode matematika yang tidak dapat diterima oleh seorang intuisionis. Seorang intuisionis tidak dapat menerima aturan logika bahwa kalimat “a atau b” bernilai benar untuk a bernilai benar dan b bernilai benar. Seorang intuisionis juga tidak bisa menerima pembuktian dengan metode membuktikan ketidakbenaran dari ingkarannya. Seorang intuisionis juga tidak dapat menerima bilangan infinit atau tak hingga sebagai bilangan yang bersifat faktual. Menurut seorang intuisionis, bilangan infinit bersifat potensial. Oleh karena itu kaum intuisionis berusaha mengembangkan matematika hanya dengan bilangan yang bersifat finit atau terhingga.
Banyak filsuf telah menggunakan matematika untuk membangun teori pengetahuan dan penalaran yang dihasilkan dengan memanfaatkan bukti-bukti matematika dianggap telah dapat menghasilkan suatu pencapaian yang memuaskan. Matematika telah menjadi sumber inspirasi yang utama bagi para filsuf untuk mengembangkan epistemologi dan metafisik. Dari pemikiran para filsuf yang bersumber pada matematika diantaranya muncul pemikiran atau pertanyaan: Apakah bilangan atau obyek matematika memang betul-betul ada? Jika mereka ada apakah di dalam atau di luar pikiran kita? Jika mereka ada di luar pikiran kita bagaimana kita bisa memahaminya? Jika mereka ada di dalam pikiran kita bagaimana kita bisa membedakan mereka dengan konsep-konsep kita yang lainnya? Bagaimana hubungan antara obyek matematika dengan logika? Pertanyaan tentang “ada” nya obyek matematika merupakan pertanyaan metafisik yang kedudukannya hampir sama dengan pertanyaan tentang keberadaan obyek-obyek lainnya seperti universalitas, sifat-sifat benda, dan nilai-nilai; menurut beberapa filsuf jika obyek-obyek itu ada maka apakah dia terkait dengan ruang dan waktu? Apakah dia bersifat aktual atau potensi? Apakah dia bersifat abstrak? Atau konkrit? Jika kita menerima bahwa obyek matematika bersifat abstrak maka metode atau epistemologi yang bagaimana yang mampu menjelaskan obyek tersebut? Mungkin kita dapat menggunakan bukti untuk menjelaskan obyek-obyek tersebut, tetapi bukti selalu bertumpu kepada aksioma. Pada akhirnya kita akan menjumpai adanya “infinit regress” karena secara filosofis kita masih harus mempertanyakan kebenaran dan keabsahan sebuah aksioma.
Hannes Leitgeb di (Antonelli, A., Urquhart, A., dan Zach, R. 2007) di “Mathematical Methods in Philosophy” telah menyelidiki penggunaan matematika di filsafat. Dia menyimpulkan bahwa metode matematika mempunyai kedudukan penting di filsafat. Pada taraf tertentu matematika dan filsafat mempunyai persoalan-persoalan bersama. Hannes Leitgeb telah menyelidiki aspek-aspek dalam mana matematika dan filsafat mempunyai derajat yang sama ketika melakukan penelaahan yatitu kesamaan antara obyek, sifat-sifat obyek, logika, sistem-sistem, makna kalimat, hukum sebab-akibat, paradoks, teori permainan dan teori kemungkinan. Para filsuf menggunakan logika sebab-akibat untuk untuk mengetahui implikasi dari konsep atau pemikirannya, bahkan untuk membuktikan kebenaran ungkapan-ungkapannya. Joseph N. Manago (2006) di dalam bukunya “ Mathematical Logic and the Philosophy of God and Man” mendemonstrasikan filsafat menggunakan metode matematika untuk membuktikan Lemma bahwa terdapat beberapa makhluk hidup bersifat “eternal”. Makhluk hidup yang tetap hidup disebut bersifat eternal.

Epistemologi Matematika

Oleh: Marsigit
Matematika , pada hakekatnya, selalu berusaha mengungkap kebenaran namun dalam sejarah panjangnya, sejak jaman Renaisan, aspek empiris dari matematika seperti yang dicanangkan oleh John Stuart Mill ternyata kurang mendapat prospek yang cerah. Matematika telah berkembang menjadi kegiatan abstraksi yang lebih tinggi di atas kejelasan pondasinya seperti yang terjadi pada Kalkulus Infinitas dan Bilangan Kompleks yang telah mengambil jarak dari pandangan kaum skeptik. Tetapi pada abad yang lalu, dengan ditemukannya kontradiksi pada Teori Himpunan, kaum skeptik dan empiric mulai menggaungkan lagi pandangan-pandangan tentang pondasi matematika.
Kaum pondasionalis epistemologis berusaha meletakkan dasar pengetahuan matematika dan berusaha menjamin kepastian dan kebenaran matematika. untuk mengatasi kerancuan dan ketidak pastian dari pondasi matematika yang telah diletakkan sebelumnya. Perlu kiranya dicatat bahwa di dalam kajian pondasi epistemologis matematika terdapat pandangan tentang epistemologi standar yang meliputi kajian tentang kebenaran, kepastian, universalisme, obyektivitas, rasionalitas, dsb. Menurut kaum pondasionalisme empiris , dasar dari pengetahuan adalah lebih dari kebenaran yang diperoleh dari hukum sebab-akibat dari pada diturunkan dari argumen-argumennya.
Munculnya Teori Pengetahuan dari Immanuel Kant, sebagai landasan epistemologis dari pengetahuan , dipengaruhi paling tidak oleh pengaruh dua aliran epistemologi yang masing-masing berakar pada pondasi empiris dan pondasi rasionalis. Menurut kaum pondasionalis empiris , terdapat unsur dasar pengetahuan dalam mana nilai kebenarannya lebih dihasilkan oleh hukum sebab-akibat dari pada dihasilkan oleh argumen-argumennya; mereka percaya bahwa keberadaan dari kebenaran tersebut disebabkan oleh asumsi bahwa obyek dari pernyataannyalah yang membawa nilai kebenaran itu. Kaum pondasionalis empiris mempunyai dua asumsi: (a) terdapat nilai kebenaran, jika kita mengetahuinya, yang memungkinkan kita dapat menjabarkan semua pengetahuan tentang ada; (b) nilai kebenaran itu diterima sebagai benar tanpa prasyarat.
Untuk menemukan konsep dan putusan yang mana yang mendasari pengetahuan kita, kaum pondasionalis rasionalis berusaha mencari sumber dari kegiatan berpikir, yaitu kegiatan dimana kita dapat menemukan ide dasar dan kebenaran . Kegiatan dimaksud merupakan kegiatan intelektual yang memerlukan premis-premis yang dapat berupa kegiatan intuisi atau semacam refleksi diri seperti yang terjadi pada Cogito nya Cartesius. Kegiatan tersebut tidak hanya menghasilkan pondasi yang dicari dari pengehuan tetapi juga memberikan kepastian epistemologis, yaitu suatu keadaan yang pasti dan dengan sendirinya benar. Dasar dari ide dan putusan bersifat pasti karena mereka dihasilkan dari suatu aktivitas yang terang dan jelas sebagai prasyarat diperolehnya putusan yang dapat diturunkan menjadi putusan-putusan yang lainnya.
Kaum rasionalis seperti Plato, Descartes, Leibniz, atau Spinoza, percaya bahwa semua pengetahuan telah ada pada akal budi sebelum aktivitas kognisi dimulai; namun, mereka dianggap belum mampu meletakkan dasar-dasar pengetahuan yang menjamin nilai kebenaran suatu proposisi. Di lain pihak, usaha meletakkan dasar kognisi dan pengetahuan tidak berarti bahwa seorang Immanuel Kant memadukan begitu saja apa yang dikerjakan oleh kaum empiris maupun kaum rasionalis. Kant berusaha untuk menjawab pertanyaan bagaimana kegiatan kognisi mungkin terjadi dalam kaitannya dengan hubungan antara subjek dan objek atau bagaimana representasi sintetik dan obyeknya dapat terjadi dan bagaimana hubungan antara keduanya?
Berkaitan dengan masalah tersebut, di dalam Teori Pengetahuannya, Immanuel Kant berusaha meletakkan dasar epistemologis bagi matematika untuk menjamin bahwa matematika memang benar dapat dipandang sebagai ilmu. Kant menyatakan bahwa metode yang benar untuk memperoleh kebenaran matematika adalah memperlakukan matematika sebagai pengetahuan a priori. Menurut Kant, secara spesifik, validitas obyektif dari pengetahuan matematika diperoleh melalui bentuk a priori dari sensibilitas kita yang memungkinkan diperolehnya pengalaman inderawi. Namun, perkembangan matematika pada dua abad terakhir telah memberikan tantangan yang cukup signifikan terhadap pandangan Immanuel Kant ini.
Gödel, K., 1961, “The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy”.Retrieved 2003
---------, 1990, Kant, Rorty and transcendental argumentation, Paper was written at Section de Philosophie, Université de Fribourg
Tuchanska, B.,1999, “Is a Non-Foundationalist Epistemology Possible?”, Retrieve 2004
Rorty in Tuchanska, B.,1999, “Is a Non-Foundationalist Epistemology Possible?”, Retrieve 2004
Krausz in Tuchanska, B.,1999, “Is a Non-Foundationalist Epistemology Possible?”, Retrieve 2004

Kedudukan Filsafat Matematika

Oleh: Marsigit

Filsafat matematika mempunyai tujuan untuk menjelaskan dan menjawab tentang kedudukan dan dasar dari obyek dan metode matematika yaitu menjelaskan apakah secara ontologism obyek matematika itu ada, dan menjelaskan secara epistemologis apakah semua pernyataan matematika mempunyai tujuan dan menentukan suatu kebenaran. Mengingat bahwa hukum-hukum alam dan hukum-hukum matematika mempunyai kesamaan status, maka obyek-obyek pada dunia nyata mungkin dapat menjadi pondasi matematika. Tetapi ini masih menjadi pertanyaan besar untuk dijawab. Walaupun beberapa pemikir pada filsafat modern dari matematika menolak bagi keberadaan pondasi di dalam matematika, namun bebarapa filsuf masih tetap menaruh perhatian kepada kegiatan kognisi manusia sebagai basis bagi diletakkannya fondamen matematika. Mereka mencoba meletakkan dasar matematika pada kegiatan kognisi manusia, seperti yang dilakukan Immanuel Kant, bukan pada obyek di luar matematika.
Sementara kaum empiris dan kaum rasionalis berusaha meletakkan dasar matematika sebagai putusan epistemologis yang sah dan benar; Immanuel Kant berusaha mengembangkan bentuk dan kategori untuk menciptakan kondisi bagi dimungkinkanya kegiatan kognisi secara obyektif dari matematika. Perkembangan refleksi pengetahuan dan kognisi matematika menunjukkan bahwa setiap jaman memberikan landasan bagi matematika, namun di antara landasan-landasan tersebut tidak luput dari kritik atas kelemahan-kelemahannya. Pondasi ideal matematika dimana pendekatan deduksi maupun induksi tidak dapat dimasukkan, telah ditinggalkan dan terdapat juga resistensi dari terhadap pondasi matematika atas dasar pandangan-pandangan rasionalisme Rene Descartes.
Kant menyarankan bahwa, sebagai ganti menganggap bahwa pikiran kita menyesuaikan dengan obyek-obyek di luar diri kita, kita dapat berasumsi bahwa obyek-obyek di luar diri kita itulah uyang disesuaikan dengan pikiran kita. Kant menyatakan bahwa obyek dari pengalaman manusia, yaitu phenomena, mungkin dapat kita ketahui melalui penampakannya. Tetapi kita tidak dapat mengetahui esensi dibalik phenomena yang disebut sebagai noumena atau yang ada di dalam dirinya. Phenomena dapat di persepsi melalui bentuk sensibilitas murni yaitu ruang dan waktu. Agar dapat dipahami maka phenomena harus mempunyai karakteristik seperti apa yang terdapat di dalam kategori pemahaman manusia. Kategori-kategori itu yang meliputi aspek substansi dan hukum sebab akibat merupakan sumber dari struktur pemahaman phenomena.
Kant berpendapat bahwa tiga disiplin matematika yaitu logika, aritmetika, dan geometri sebagai cabang ilmu matematika yang saling bebas dan masing-masing bersifat sintetik. Di dalam The Critique of Pure Reason dan The Prolegomena to Any Future Metaphysics, Kant menyatakan bahwa kebenaran geometri bersifat sintetik a priori dan bukannya analitik seperti yang sekarang diyakini oleh banyak orang. Sedangkan kebenaran logika dan kebenaran yang diperoleh hanya melalui penyebutan definisi merupakan kebenaran analitik sebab mereka tergantung kepada kegiatan analitis dan kegiatan memecah keseluruhan menjadi bagian-bagian tanpa memerlukan informasi tambahan dari luar. Oleh karena itu kebenaran analitik bersifat a priori. Sebaliknya, kebenaran sintetik memerlukan kegiatan mensintesis atau mengkombinasikan dengan informasi yang lain untuk memperoleh pengetahuan yang baru.
Filsafat modern setelah masa Immanuel Kant memberikan kriteria penting bagi pondasi matematika. Beberapa kriteria tersebut misalnya pondasi matematika harus bersifat logis, pondasi matematika harus berdasarkan kepada filsafat matematika, pondasi matematika harus berdasar kepada filsafat bahasa atau pondasi matematika merupakan epistemologi matematika. Peranan Teori Pengetahuan dari Immanuel Kant dapat disoroti dari penerapan doktrin Immanuel Kant bagi aljabar dan geometri dan kesimpulannya aljabar adalah ilmu tentang waktu dan geometri adalah ilmu tentang ruang. Karena waktu dan ruang berbentuk intuisi formal maka semua pengetahuan matematika lainnya harus dipelajari dalam ruang dan waktu.

Wednesday, December 3, 2008


Oleh : Dr. Marsigit, M.A.
Disampaikan pada Seminar Bertema: Nilai Luhur Bangsa dan Pembelajaran Matematika di Sekolah dalam Menuju Standarisasi Sekolah Nasional dan Bertaraf Internasional, FMIPA UNY, Minggu 30 Nopember 2008

A. Pendahuluan

Memasuki milenium ke-3 bangsa Indonesia diwarnai dengan era reformasi di segala bidang kehidupan, yang merupakan masa-masa sulit sebagai akibat krisis ekonomi yang parah. Fenomena yang muncul dari krisis yang berkepanjangan menunjukkan perubahan masyarakat dalam berbagai aspek kehidupan politik, ekonomi, hukum dan juga pendidikan. Bahkan ditengarai munculnya krisis ekonomi kedua yang akibatnya bisa lebih parah dari krisis ekonomi pertama. Pergaulan global yang tanpa batas atau yang berbatas? Siapa yang memulai dan siapa yang mengakhiri? Siapa yang menguasai dan siapa yang dikuasai? Apanya yang berubah dan apanya yang tetap? Masih tersisakah idealisme atau semakin merajalelanya pragmatisme dan budaya instant? Masih relevankan nilai-nilai lama dan sudah layakkah nilai-nilai baru? Hidup ini masihkah berpengharapan ataukah telah mengkhawatirkan? Ataukah yang lama yang enggan tetapi yang baru ternyata membosankan? Nilai lokal yang mana dan yang bagaimana? Nilai global yang mana dan yang bagimana? Nilai-nilai kebangsaan yang mana yang masih bisa dibanggakan? Bagaimana nilai spiritual kita? Apakah kemudian yang disebut dengan geopolitik, geostrategi, dan geo-geo yang lainnya misalnya geofilsafat, geopsikologi, geobudaya?
Kiranya, sudahlah cukup fakta-fakta yang menunjukkan bahwa memang sudah saatnyalah bangsa Indonesia menguji kembali paradigma pembangunan. Pendidikan dapat memberikan landasan bagi pengembangan nilai-nilai luhur terhadap reformasi bidang hukum, politik, ekonomi, budaya dan lain-lain. Dengan demikian reformasi di bidang pendidikan merupakan tuntutan yang tidak dapat ditawar-tawar. Era reformasi sekaligus memberi harapan, tantangan dan kesempatan; namun berbagai kalangan masih mempertanyakan harapan, tantangan dan kesempatan apa bagi dunia pendidikan kita dalam melakukan reformasi. Hal demikian patut kiranya di sadari oleh semua pihak yang terpanggil untuk memajukan pendidikan di Indonesia. Di tengah hiruk-pikuknya tuntutan reformasi, berbagai isu mendasar secara makro dari dunia pendidikan muncul kepermukaan termasuk pemberantasan KKN, peningkatan mutu, desentralisasi dan otonomi pendidikan, peraturan perundang-undangan, pemberdayaan dan partisipasi, paradigma.
Narasi besar apa sebetulnya yang sedang menimpa kita bersama? Atau barang kali dan jangan-jangan kita ini yaitu pendidik dan pendidikan yang menjadi biang dari segala krisis yang ada? Pertanyaan mengagetkan tentunya tetapi refleksi tentang apa dan bagaimana seyogyanya yang perlu kita lakukan dalam lingkup pendidikan, pendidikan matematika atau matematika itu sendiri? Ditengah-tengah krisis dan kebingungan luar biasa muncullah seorang tua renta dan berkata “Selama kamu merasa bisa mengenal dirimu selama itu pula sebetulnya kamu belum mengenal dirimu, bukankah tidak bisa mengenal dirimu sendiri merupakan keadaan dimana kamu perlu mengenal dirimu sendiri. Selama kamu merasa bisa menunjuk dunia, sebenarnya kamu belum paham dunia bukankah dunia ada dalam pikiranmu sendiri. Jadi mengetahui pikiran sendiri sama sulitnya dengan mengetahui dunia, dan batas-batas dunia tidak lain adalah batas-batas pikiranmu. Itulah sebenar-benar ilmu, yaitu batas pikiranmu. Hidup adalah menterjemahkan dan diterjemahkan, apa yang bisa dibanggakan dari masa lampaumu? apa yang sedang kamu kerjakan? dan bagaimana kamu menyiapkan masa depanmu?”

B. Reformasi di segala bidang masihkah diperlukan?

Gerakan reformasi di Indonesia merupakan antiklimaks dari suatu keadaan dimana nilai-nilai moral dibidang politik, hukum, sosial, ekonomi mengalami kemerosotan yang sangat tajam dalam suatu kurun waktu lebih dari tiga dekade. Ketidakberdayaan masyarakat dalam berbagai aspek merupakan implikasi langsung dari pembelokan arah pembangunan yang menjadikan rakyat hanya sebagai obyek dan bukan sebagai subyek. Masyarakat dan bangsa Indonesia yang kini sedang memasuki era milenium ke-3 menghadapi tantangan yang cukup berat disegala aspek kehidupan. Berbagai peristiwa yang terjadi 2 (dua) tahun terakhir menunjukkan bahwa sebagian dari komponen bangsa belum siap menghadapi era globalisasi, sebagian yang lain melakukan eksperimen-eksperimen yang terkadang membawa implikasi ganda ke keadaan yang lebih buruk; namun yang tidak lebih baik adalah bahwa sebagian dari kita ternyata tidak mengetahui akan ke manakah bangsa kita menuju ? Sementara itu krisis moneter berkepanjangan yang dihadapi bangsa Indonesia menunjukkan bahwa pembangunan yang dicanangkan selama orde baru telah mengakibatkan ketidakberdayaan masyarakat dalam bidang politik, ekonomi, hukum, sosial, bahkan budaya termasuk pendidikan. Berbagai laporan menunjukkan bahwa krisis ekonomi telah sangat berdampak buruk terhadap kinerja pendidikan kita; angka putus sekolah semakin tinggi, tingkat partisipasi pendidikan semakin menurun, dan kemampuan orang tua untuk ikut menyediakan fasilitas dan sumber ajar (buku) juga semakin menurun.

1. Reformasi pendidikan sudahkah cukup?

Secara makro, gambaran sistem pendidikan masih menunjukkan ciri-ciri sentralisme yang kaku, dengan dominasi birokrasi yang sangat kuat, sehingga di setiap jenjang pendidikan terjadi stagnasi atau kemandegan. Kreativitas atau improvisasi kearah inovasi sangat sulit dilakukan kerena sistem penyelenggaraan pendidikan nasional cenderung menuruti garis petunjuk dari atas. Sistem pendidikan kita dewasa ini juga masih bersifat tertutup sehingga menyuburkan praktek-praktek korupsi dan kolusi; hal demikian ditandai dengan adanya penempatan pejabat kependidikan tidak berdasar atas profesionalisme dan latar belakang pendidikan melainkan berdasarkan atas kolusi. Di sisi lain, berbagai laporan pendidikan dari dalam maupun luar negeri secara implisit menyebutkan tentang kegagalan pemerintah Indonesia dalam penyelenggaraan pendidikan. Indonesia hanya berada di urutan ke –105 dari 174 negara dalam hal PEMBENGUNAN MANUSIA-nya, berada di bawah Singapura (22), Brunei (25), Malaysia (56); sementara Indonesia hanya berada pada urutan ke-37 dari 59 negara dalam hal DAYA SAING, berada di bawah Singapura (1), Malaysia (16), dan Thailand (30) (Tilaar, 1999:hal 183). Jika hal demikian dibiarkan terus-menerus tidak mustahil sistem pandidikan kita lambat laun tetapi pasti, akan menjadi sistem pembodohan masyarakat.
Secara mikro, praktek kependidikan di Indonesia masih bertumpu kepada peran guru sebagi ujung tombak pemerintah dalam melaksanakan kebijakan kependidikannya. Namun pentingnya peran guru belum diimbangi oleh kesadaran pemerintah untuk memberdayakannya. Dalam posisi dibutuhkan tetapi tidak diperhatikan itulah maka sebagian guru kita mengalami stagnasi yaitu tidak mampu mengembangkan kreativitas mengajarnya karena tidak terdapat ruang untuk itu. Penelitian yang penulis lakukan di sekolah-sekolah (Marsigit, 1996) menunjukkan bahwa guru lebih suka menerapkan metode pembelajaran sesuai petunjuk Kepala Sekolah, Penilik Sekolah atau Pengawas daripada bereksperimen atau mencoba berbagai cara lain; karena hal demikain lebih memberi rasa aman dan tenang bagi mereka. Dengan demikian mudahlah dipahami mengapa setiap usaha inovatif kependidikan yang disponsori perguruan tinggi tidak menunjukkan hasil yang menggembirakan. Berbagai teori dan pengalaman mengajar yang diperoleh melalui penataran, kepelatihan dan studi lanjut di perguruan tinggi, tidak pernah dapat dipraktekan di sekolah; para guru akan kembali mengajar seperti semula ketika mereka kembali ke sekolah.
Sementara itu, secara filosofis, terdapat tesis bahwa pendidikan dapat memberikan landasan bagi nilai-nilai luhur politik, ekonomi, sosial, hukum dan budaya sehingga dapat dicapai suatu tata nilai baru yang terbuka, dinamis, dan demokratis. Seiring dengan reformasi disegala aspek kehidupan, maka mengingat tesis tersebut dan memperhatikan kondisi faktual di setiap jenjang kependidikan, adalah mutlak kiranya bagi bangsa Indonesia dewasa ini untuk menjadikan reformasi pendidikan sebagai salah satu agenda reformasi nasional. Gerakan reformasi pada hakekatnya adalah pergulatan antara ‘kemapanan’ dan ‘perubahan’ yang melibatkan unsur-unsur yang sangat kompleks dengan akibat-akibat yang terkadang sulit diduga. Levin (1976) dalam Fullan (1992:17) menyatakan bahwa paling sedikit ada 3 (tiga) faktor utama suatu reformasi dapat terjadi : (1) faktor bencana, yang dapat berupa bencana alam seperti gempa bumi, banjir, kebakaran, kelaparan, dsb., (2) pengaruh teknologi informasi , (3) dan adanya konflik yang terjadi karena perbedaan kepentingan diantara komponen masyarakat.. Siapa yang menang sulit diperkirakan. Akan terjadi konflik dan pertentangan-pertentangan. Namun yang menarik adalah perubahan justru dihasilkan dari konflik dan tekanan. Jika yang dikehendaki adalah reformasi damai maka permasalahannya adalah seberapa jauh pihak-pihak yang terlibat mampu mengatasi perbedaan pendapat dan mencari solusinya. Elwyn Thomas (1995) menyebutkan bahwa reformasi pendidikan dapat terjadi oleh paling tidak 4 (empat) sebab yaitu : keadaan sosial politik, ekonomi, budaya dan perkembangan sain dan teknologi. Keadaan sosial politik suatu negara akan memberi corak warna kepada sistem pemerintahan dan sistem pendidikan yang ada. Kebijakan pemerintah dalam pengembangan kurikulum misalnya akan sangat memberi warna pada praktek-praktek pembelajaran di sekolah-sekolah.
Reformasi pendidikan akan terwujud jika reformasi politik menghasilkan fase pemerintahan yang mampu menyerap aspirasi dan mampu melakukan koreksi diri sehingga terdapat dorongan untuk melakukan restrukturisasi sistem pendidikan dan mengimplementasikan ideal-ideal pendidikan. Sarason (1990) dalam Fullan, (1992: 27) menyatakan bahwa reformasi pendidikan merupakan bagian dari reformasi politik. Masalahnya ialah seberapa jauh para stake-holder dalam pendidikan kita mampu menerobos ke jalur politik dan birokrat. Atau sebaliknya seberapa jauh para politisi dan birokrat kita peduli terhadap dunia pendidikan. Mengingat budaya Indonesia adalah budaya timur, dimana aktivitas sosial selalu diukur dengan strata sosialnya dimana secara implisit tersembunyi unsur ‘kuasa’ /’power’/ ’kontrol’ bagi yang di atas terhadap yang di bawah maka telah terbukti betapa sulitnya mewujudkan reformasi yang dipelopori dari bawah (Dunbar, 1996).
. Sementara menurut Fullan (1991), makna reformasi pendidikan meliputi dua hal; pertama, reformasi sebagai usaha untuk mengintensifkan sistem dan; kedua, reformasi sebagai usaha untuk melakukan restrukturisasi. Usaha mengintensifkan sistem dapat berupa pembenahan kurikulum, sistem produksi buku pelajaran, metode mengajar, sistem evaluasi dan pemanfaatan sumber-sumber ajar/belajar. Sedangkan restrukturisasi dapat menyangkut aspek management pendidikan, peningkatan peran guru dalam pengambilan kebijakan pendidikan, memperbaharui visi dan persepsi pendidikan, peningkatan keterlibatan masyarakat dalam proses pendidikan, pengembangan sistem in-service training bagi para guru, sistem administrasi dan peningkatan peran siswa. Di sisi lain, Bowles dan Gintis, (1976) dalam Fullan (1991) menyatakan bahwa reformasi pendidikan seharusnya mampu menjawab seberapa jauh sistem yang ada mampu menyiapkan fasilitas pendidikan secara efektif untuk meningkatkan kualitas pendidikan, agar dicapai tujuan pendidikan yang meliputi paling sedikit dua hal yaitu : mendidik subyek didik dengan berbagai kemampuan akademik, ketrampilan atau pengetahuan; dan, mengembangkan segenap potensi yang dimiliki oleh subjek didik. Jika reformasi pendidikan diberi makna sebagai usaha melakukan inovasi pendidikan maka faktor-faktor yang mempengaruhi meliputi : keberadaan dan kualitas dari inovasi itu sendiri, dampak inovasi, peran pemerintah, peran guru, peran masyarakat dan kebijakan pendidikan. Dalam hal ini, terjadinya inovasi sangat dipengaruhi oleh kebutuhan, kesiapan dan sumber daya manusia dan sumber daya alam.
Pendidikan merupakan usaha sadar untuk mengembangkan pengetahuan, kemampuan dan kepribadian subyek didik. Dalam jangka pendek, pendidikan berarti proses belajar mengajar di kelas; dalam jangka menengah pendidikan berarti pengembangan subyek didik seutuhnya; dan dalam jangka panjang pendidikan merupakan fenomena kebudayaan yang menyangkut nilai-nilai moral, estetis dan budaya. Reformasi pendidikan menuju Indonesia Baru hendaknya mampu melihat keseluruhan dari konteks di atas sehingga mampu memberikan angin segar dan cakrawala baru bagi seluruh komponen kependidikan. Masalah yang paling mendasar dalam reformasi pendidikan di Indonesia adalah bahwa pihak-pihak yang terlibat dalam pendidikan tidaklah mempunyai gambaran yang jelas mengenai apa makna reformasi dan bagaimana reformasi pasti dilakukan. Jika demikian maka kita mudah terjebak kepada pemberian makna dan arah reformasi kepada hal-hal yang bersifat teknis belaka. Agar gerakan reformasi di Indonesia dapat melihat keperluan di masa depan dan menghentikan kebijakan salah urus dan penyelewengan kekuasaan secara sewenang-wenang maka perlu diadakan suatu perombakan secara menyeluruh dari suatu sistem kehidupan dalam semua aspek termasuk pendidikan. Reformasi Pendidikan Nasional hendaknya mampu merefleksikan keadaan masa lampau, sekarang dan akan datang. Masa lampau dan sekarang dari Pendidikan Nasional kita telah terperangkap ke dalam system kehidupan yang opresif sehingga telah terkungkung di dalam paradigma-paradigma yang tunduk kepada kekuasaan otoriter dan memperbodoh rakyat banyak (Tilaar, 1999: 17). Lebih lanjut dinyatakan bahwa sesuai dengan asas sentralisme, maka penyelenggaraan pendidikan nasional cenderung menuruti garis petunjuk dari atas atau indoktrinasi; segala sesuatu telah disiapkan di dalam juklak dan uknis sehingga tidak ada tempat untuk berfikir alternatif. Di samping itu, system pendidikan nasional juga telah diracuni oleh unsur-unsur korupsi, kolusi dan nepotisme (ibid, 18). Berdasar hal tersebut maka reformasi pendidikan hendaknya memberi tempat bagi pengembangan paradigma-paradigma baru untuk mencapai masyarakat madani yang demokratis. Masyarakat madani yang demokratis merupakan masyarakat yang terbuka di mana anggota-anggotanya sadar akan hakekat kemanusiaannya, yang bertanggung jawab terhadap kehidupannya dan bukan berdasarkan paksaan dari sekelompok penguasa yang hanya bertujuan untuk kepentingan dirinya sendiri (ibid, 19).
Mengingat bahwa aspek pendidikan cakupannya sangat luas, maka reformasi pendidikan nasional seyogyanya berskala prioritas dan meliputi segala faktor-faktornya. Alexander dalam Bourne (1994 :20) menyatakan bahwa perubahan penyelenggaraan pendidikan akan ditentukan oleh faktor-faktor politik, budaya, konseptual, praktis dan hasil kajian empirik. Dengan demikian maka reformasi pendidikan jangka pendek perlu diprioritaskan kepada dihilangkannya hambatan teknis penyelenggaraan pendidikan sebagai akibat praktek-praktek korupsi, kolusi dan nepotisme. Sedangkan untuk jangka menengah perlunya penataan peraturan perundang-undangan yang menjamin tercapainya tujuan pendidikan dan masyarakat madani sehingga untuk jangka panjang maka sistem pendidikan nasional perlu menjamin pengembangan sumber daya manusia yang sesuai dengan hakekat kemanusiaan dan hakekat keilmuan yang dikembangkannya, melestarikan dan mengembangkan terus menerus nilai-nilai kehidupan sesuai dengan kodratnya, dan menjaga keharmonisan dalam kehidupan berbangsa dan bernegara baik secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama. Tilaar (1999 :22) menyatakan bahwa seyogyanya agenda reformasi pendidikan meliputi : (1)Pengikisan korupsi, kolusi, nepotisme dan koncoisme; (2) Melaksanakan asas profesionalisme; (3) Desenralisasi pengelolaan pendidikan dan isi kurikulum.; (4) Peningkatan mutu pendidikan dasar dan penunasan wajib belajar 9 tahun; Peningkatan mutu sekolah menengah umum dan kejuruan; (6) Peningkatan mutu dan otonomi pendidikan tinggi; (7) Pengembangan pendidikan alternatif; (8) Peningkatan mutu profesi guru; (9) Pembiayaan pendidikan yang demokratis; (10) Peraturan dan perundang-undangan; (11) Pemberdayaan subyek didik. “Clean educational system” perlu dikembangkan dari tingkat pusat sampai tingkat daerah. Organisasi dan personalia harus bersifat terbuka dan terbebas dari unsur KKN; pemberdayaan masyarakat perlu ditingkatkan; lembaga Inspektorat Jenderal yang meliputi BPK, BPPK, dan Inspektorat Wilayah perlu direformasi.
Peningkatan profesionalisme dalam bidang pendidikan dapat dilakukan dengan mereformasi sistem penempatan tenaga eselon I dan II dengan tenaga-tenaga yang profesional berdasarkan criteria obyektif; perencanaan pengembangan karier disertai program kepelatihan; serta meninjau dan meredifinisi kembali fungsi unit pengembang dan pusat-pusat pendidikan/latihan seperti PPPG, BPG agar lebih bersifat adaptable dan fleksibel serta mengurangi sebanyak mungkin program-program pengembangan pendidikan yang berorientasi kepada “proyek”. Sejalan dengan peningkatan profesionalisme, maka desentralisasi pengelolaan pendidikan akan menjadi bagian yang menentukan bagi reformasi pendidikan. Desentralisasi pengelolaan pendidikan perlu mempertimbangkan akses-akses seperti potongan gaji guru, penempatan guru, pengembangan kurikulum, sumber ajar dan belajar, partisipasi dan sebagainya; untuk itu perlu adanya reformasi terhadap aturan-aturan yang bertentangan dengan semangat pembaharuan. Reformasi juga perlu dilakukan terhadap kurikulum 1994. Agar kurikulum dapat dilaksanakan secara lebih fleksibel dan mampu menangkap aspirasi daerah dan meningkatkan partisipasi maka kurikulum hendaknya bersifat ramping dengan kurikulum inti tidak lebih dari 30 % (Tilaar, 1999: 25). Reformasi perlu dilakukan untuk melepaskan terlalu banyaknya campur tangan birokrasi pemerintahan pusat terhadap pengelolaan sumber daya, dana dan partisipasi masyarakat. Segala bentuk dualisme pendidikan seperti negeri-swasta perlu dihilangkan dan diganti dengan semangat kooperasi atau kerja sama untuk mengoptimalkan segenap potensi yang ada. Lembaga-lembaga konsorsium pendidikan yang bersifat memonopoli ide dan gagasan juga perlu dihilangkan untuk digantikan dengan ikatan-ikatan profesi yang bersifat mandiri dan independen. Profesionalisme guru perlu ditingkatkan melalui program-program yang rasional dengan tidak menetapkan syarat-syarat terlalu rumit; pendekatan pengembangan profesionalisme guru hendaknya lebih bersifat akademis dan kompetensi bukan bersifat administrative birokratif seperti sekarang ini. Untuk itu pengembangan profesionalisme guru perlu ditangani secara professional pula oleh lembaga-lembaga yang berkompeten yaitu perguruan tinggi atau universitas. Pengembangan program kegiatan peningkatan profesionalisme guru di PPPG dan BPG harus dapat dipertanggungjawabkan secara profesional akademis dan berlandaskan kepada prinsip-prinsip pengembangan sumber daya manusia.
Becher dan Maclure, (1978) menyebut 2(dua) macam kedudukan guru di dalam inovasi pembelajaran dikaitkan dengan pengembangan kurikulum. Pertama, di dalam kurikulum yang bersifat Instrumental, peran guru dinyatakan sebagai pelaksana kurikulum, dengan mengembangkan peran dominasinya terhadap pembelajaran matematika yang diselenggarakan dalam rangka mengantar para siswa untuk mencapai tujuan tertentu (memperoleh ijasah/mencari pekerjaan); dengan asumsi bahwa siswa (manusia) dapat di manipulasi/rekayasa dalam proses pendidikan. Kedua, di dalam kurikulum yang bersifat Interaktif/Individual, peran guru dinyatakan sebagai pengembang kurikulum, dengan mengembangkan fungsi guru sebagai melayani/fasilitator dan membantu kebutuhan belajar siswa; dengan asumsi bahwa siswa perlu diberi kesempatan untuk mengutarakan inisiatifnya dan menkonstruksi konsep matematika sesuai dengan kecepatan dan kesiapan masing-masing. Siswa mempunyai hak belajar.

Jenis-jenis Kurikulum
(Becher dan Maclure, 1978)

Tentang: Intrumental
Curriculum(Tradisional) Interactive
Curriculum (Progresif) Individualistic
Pengetahuan Pengetahuan identik dengan Paket Mata Pelajaran Problem Solving
(pemecahan dengan multi disiplin ilmu) Pengetahuan adalah bagian dari pengembangan diri
Tujuan Pendidikan Memperoleh Pekerjaan Sekolah sebagai Laboratorium Pengembangan Siswa Pendidikan merupakan kebutuhan
Struktur Kurikulum Sangat Terstruktur Kurang Terstruktur Tak terstruktur
Peran Guru di Kelas Peran guru di kelas bersifat mendominasi Guru sebagai Manager Guru sebagi Fasilitator
Peran Guru Dalam Pengemb. Kur Guru sebagai pelaksana Berpartisipasi Secara Aktif Sebagai pengembang
Sumber Belajar Kapur dan papan tulis Alat Peraga Lingkungan sekitar
Pengemb. Tek.
Evaluasi Prestasi belajar Assesment Individual case-histories
Hakekat Manusia Manusia dapat dididik dan dimanipulasi/rekayasa Manusia sebagai makhluk Sosial Manusia sebagai makhluk Individu
Hakekat Alam Semesta Dunia adalah yang tampak/nyata Dunia mengalami perubahan Dunia tak diketahui secara pasti

Di bidang anggaran, reformasi perlu dilakukan untuk meninjau kembali rencana pembiayaan berasal dari pemerintah agar diberi prioritas kepada gaji guru sekolah dasar, dan membebaskan orang tua dari sema biaya pendidikan dasar; untuk itu mobilisasi dana pemerintah (APBN dan APBD) untuk pendidikan dan kepelatihan sekurang-kurangnya 25% dari APBN; penggunaan dana harus dilakukan secara transparan dengan melibatkan partisipasi masyarakat; dan dana pinjaman luar negeri harus lebih selektif dan diarahkan dan diprioritaskan kepada peningkatan kualtas mutu pendidikan dasar (ibid :27). Sistem administrasi kependidikan dari pusat ke daerah juga perlu direformasi agar dapat meningkatkan kinerja dan mendorong birokrasi professional; untuk itu maka reformasi hendaknya menjangkau bidang-bidang teknis, prosedur, struktur dan tingkah laku atau sikap. Administrasi kependidikan harus bersifat professional untuk melakukan fungsi regulatif dan penyelenggaran pelayanan publik dibidang pendidikan
Reformasi pendidikan pada level mikro berarti reformasi pendidikan pada tingkat praktik pembelajaran yang dilakukan di kelas-kelas sekolah oleh para guru. Kita dapat melakukan analisis sederhana berangkat dari kondisi faktual yang ada pada praktek pembelajaran. Di dalam kegiatan belajar mengajar di kelas, ketika bel dibunyikan sebagai tanda istirahat, maka serta merta para siswa kegirangan dan berebutan ke luar; ketika suatu hari diberitahu bahwa gurunya tidak dapat hadir karena sakit maka segenap siswa merasa senang dan lega dan mereka siap melakukan kegiatan yang bervariasi sesuai dengan seleranya masing-masing. Fenomena ini menurut pengamatan penulis terjadi hampir merata di seluruh Indonesia di semua jenjang pendidikan. Yang dapat ditarik kesimpulan dari fenomena ini adalah bahwa situasi dan kondisi kelas pembelajaran bukanlah sesuatu yang menggembirakan bagi subyek didik; lebih dari itu kelas seakan telah menjadi penjara-penjara bagi mereka dan guru seakan-akan adalah sipir-sipir penjara tersebut. Keadaan ini berangkai bagi guru terhadap sekolah dan kepala sekolahnya; ketika diberitahu bahwa kepala sekolah tidak hadir karena sakit maka dengan serta merta para guru dan karyawan merasa senang dan lega seakan mereka kemudian dapat melakukan berbagai aktivitas tanpa terkontrol oleh kepala sekolahnya. Sekolah bukanlah tempat yang menyenangkan bagi para guru dan segenap sivitasnya.
Keadaan ini hanya sekian dari banyak hal yang menunjukkan bahwa sistem pendidikan kita telah terjebak menjadi suatu sistem yang kaku di mana segala sesuatunya di tentukan oleh pusat dengan dalih kesamaan persepsi, kesatuan wadah, kesamaan tekad, dan sebagainya. Dengan perkataan lain, sistem pendidikan nasional kita dewasa ini telah menciptakan ketergantungan dan ketidak merdekaan bagi peserta didik. Oleh karena itu salah satu agenda reformasi pendidikan yang perlu di canangkan adalah bagaimana sistem pendidikan nasional mampu memerdekakan bangsa Indonesia dari bangsanya sendiri. Indonesia baru yang terbuka dan demokratis hanya dapat dicapai jika segenap komponen bangsa mempunyai jiwa kemandirian dan sikap merdeka, bersih dari sifat KKN dan mampu mengembangkan profesionalisme di bidangnya masing-masing. Reformasi pendidikan yang bermuara pada usaha peningkatan kualitas pembelajaran dapat dipandang sebagai suatu pilar upaya peningkatan kualitas pendidikan secara keseluruhan. Secara nasional, pelaksanaan pendidikan perlu secara terus-menerus dikembangkan dengan memberi prioritas kepada usaha -usaha peningkatan kualitas pendidikan. Peningkatan kualitas pengajaran merupakan faktor kunci bagi suksesnya pendidikan dasar karena usaha demiki-an berkaitan erat dengan peningkatan kualitas guru, penyediaan sarana dan prasrana yang memadai, pembenahan kurikulum, dan penerapan teknologi kependidikan.
Jomtien (1994) menyatakan bahwa lebih dari dua dekade, ahli-ahli kependidikan telah menyadari bahwa kualitas pendidikan sangat bergantung kepada kualitas guru dan praktek-praktek pengajarannya, sehingga peningkatan kualitas mengajar guru merupakan isue mendasar bagi peningkatan kualitas pendidikan secara nasional. Ke-mampuan guru yang langsung mempengaruhi kualitas pengajaran meliputi perencanaan dan pengelolaan waktu, memahami dan mencapai tujuan pengajaran, mengorganisasikan berbagai aktivitas pengajaran, memanfaatkan sumber-sumber ajar, memilih satu atau bebe-rapa metode atau pendekatan mengajar, dan memanfaatkan umpan balik yang diperoleh untuk memperbaiki atau menyempurnakan pengajaran berikutnya. Gaya mengajar yang direfleksikan oleh seorang guru, sekelompok guru ataupun komunitas guru pada suatu negara tertentu, dipengaruhi oleh banyak faktor. Fakor-faktor tersebut meliputi kemampuan guru itu sendiri, ketersediaan sumber-sumber ajar dan fasi-litas penunjang, serta kurikulum yang merupakan perwujudan dari suatu sistem pengajar-an/pendidikan yang dianut. Jadi mudahlah dipahami bahwa guru-guru diberbagai negara dengan sistem pendidikan yang berbeda, akan berbeda pula refleksi gaya mengajar mereka. Reformasi pendidikan pada level mikro dapat diukur seberapa jauh guru mampu bergeser dalam merefleksikan gaya mengajarnya dari ‘traditional’ menjadi lebih ‘progresif’.
Sementara, gambaran umum praktek pengajaran sekolah dasar dan menengah di Indonesia adalah peranan guru yang menonjol dalam menentukan segala aktivitas murid (teacher-directed); mereka menggunakan sebagian besar waktunya untuk memberikan (convey) informasi kepada siswa ( Jomtien,1994). Penelitian yang penulis lakukan (Marsigit, 1996) menunjukkan bahwa guru lebih banyak berfungsi sebagai pemberi perintah/instruksi, pertanyaan-pertanyaan, penjelasan dan tugas-tugas; murid kurang didorong untuk saling belajar antara satu dengan yang lainnya. Guru mengalami kesulitan dalam menangani kemampuan siswa yang berbeda-beda; mengalami kesulitan dalam menerapkan cara belajar siswa aktif; mengalami kesulitan dalam memanfaatkan sumber ajar khususnya media atau alat-peraga. Faktor utama yang mempengaruhi gaya mengajar adalah beban guru dalam mengantar para siswanya untuk memperoleh hasil akhir sebaik-baiknya (Nilai Kenaikan Kelas, PraEbta, Ebta, atau Ebtanas) dan beban kurikulum untuk menyelesaikan target silabus yang telah ditetapkan.

2. Reformasi paradigma pendidikan

Siap atau tidak siap bangsa Indonesia dihadapkan kepada kenyataan bahwa era globalisasi menuntut peningkatan kualitas segenap komponen bangsa di berbagai bidang kehidupan. Naik turunnya pola atau kecenderungan isu kependidikan secara global sampai kepada kesimpulan bahwa era sekarang dan yang akan datang adalah era penguasaan ilmu, teknologi khususnya teknologi informatika dan komunikasi. Indonesia baru yang terbuka, demokratis dan bersatu harus dapat menempatkan diri ke dalam percaturan pergaulan dunia melalui kompetisi penguasaan teknologi informatika. Kecenderungan demikian akan berimplikasi kepada pola perilaku dan transformasi kehidupan masyarakat, sehingga paradigma pengembangan pendidikan mempunyai paling sedikit dua ujung yaitu mengejar ketertinggalan dan menyongsong masa depan. Mengejar ketertinggalan dan menyongsong masa depan, bagi bangsa Indonesia yang mempunyai penduduk sekitar 200 juta jiwa dengan berbagai latar belakang kelompok etnis, adalah suatu pekerjaan besar, yang oleh karena itu adalah tidak mungkin segala inisiatif kebijaksanaan kependidikan berada di tangan pusat. Otonomi daerah termasuk otonomi di bidang pendidikan sudah saatnya diimplementasikan secara jujur dan lugas; jangan hanya dijadikan isu politik untuk meredam gejolak daerah.
Teknologi informatika dan komunikasi berarti keterbukaan; dengan demikian maka transparansi, keterbukaan dan partisipasi akan menjadi isu dominan dalam pengembangan pendidikan. Transparansi, keterbukaan dan partisipasi akan memberikan segmen-segmen baru bagi aktivitas dan kegiatan masyarakat sekaligus penciptaan tenaga kerja oleh inisiatif masyarakat. Dengan demikian paradigma pendidikan harus memberi ruang yang selebar-lebarnya bagi partisipasi masyarakat dalam berbagai bentuknya, pengembangan profesionalitas, manajemen terbuka, pendidikan seumur hidup, kesadaran belajar, keaneka ragaman ketrampilan dan kejujuran dalam berkompetisi. Perkembangan pendidikan secara global, ditandai dengan adanya pergeseran titik pusat pendidikan (pembelajaran) dari pendidik ke siterdidik. Hasil penelitian menunjukkan bahwa menempatkan sibelajar sebagai titik pusat (sentral) dalam pendidikan akan memberikan implikasi yang luas dan berbeda dibanding dengan menempatkan pendidik sebagai titik sentral. ‘Transfer of knowledge’ dari guru ke murid telah dianggap sebagai paradigma yang kurang sesuai dengan hakekat mendidik. Sebagai alternatifnya maka mulai dikembangkan paradigma baru yaitu ‘cognitive-development’ sebagai upaya untuk mengembangkan potensi sibelajar.
Dengan demikian peran guru juga mengalami pergeseran dari guru yang berfungsi sebagai pemberi ilmu menjadi berfungsi sebagai fasilitator dalam proses belajar mengajar. Sekolah perlu dikembangkan sebagai tempat multi-guna bagi pengembangan kebribadian subyek didik; dengan demikian paradigma persekolahan di waktu sekarang dan yang akan datang adalah bahwa sekolah merupakan laboratorium bagi berkiprahnya subyek didik untuk mengembangkan dirinya. Paradigma baru pengembangan pendidikan di Indonesia harus selalu dikaji dan diredefinisi agar bangsa Indonesia mempunyai kemampuan secara fleksibel dan dinamis untuk menyesuaikan keadaan di sekitar dan dapat memperkirakan kebijakan-kebijakan di masa mendatang. Belajar dari negara-negara Barat, maka pengembangan pendidikan di Indonesia dapat merefleksikan dirinya ke dalam kutup-kutup pola pengembangan pendidikan melalui kajian paradigma bidang : politik pendidikan, filsafat pendidikan, pandangan tentang keilmuan, nilai atau moral, teori kemasyarakatan, teori tentang subyek didik, kemampuan, evaluasi, sumber ajar/belajar, dan budaya. Interaksi dan komunikasi antar segmen bangsa akan memberikan perspektif ke depan tentang ke mana bangsa ini akan menuju.
Di dalam implementasi pembelajaran, maka akan tampak jelas perbedaan antara pendidikan yang belum inovatif (tradisional) dan pendidikan yang sudah inovatif (progresif). Perbedaan tersebut tampak seperti berikut:

Ciri Pembelajaran Tradisional Ciri Pembelajaran Progresif (Inovatif)

1. Bersifat Nasional (terpusat) 1. Mengadapsi ciri kedaerahan (otonomi)
2. Memberikan pendidikan otak 2. Memberikan pendidikan yang bulat
(jasmaniah, rokhaniah, social, emosional
dan juga intelektual)
3. Mengutamakan hafalan 3. Mendidik untuk memecahkan soal-soal
4. Pendidikan untuk anak-anak yang pandai 4. Untuk semua anak
5. Menyampaikan kebudayaan 5. Turut serta dalam pembudayaan
6. Siswa pasif (mendengar) 6. Siswa aktif
7. Pelajaran saling terpisah 7. Pelajaran dipadukan
8. Beroientasi kepada buku teks 8. Berorientasi kepada kehidupan
9. Menilai murid berdasarkan pekerjaan 9. Menggunakan bermacam-macam cara
untuk menilai murid
10. Pelajaran bersifat abstrak (ceramah) 10. Mengembangkan alat bantu mengajar
11. Pelajaran dengan klasikal 11. Kelompok/individual
12. Pelajaran bersifat formal 12. Tidak begitu formal
13. Materi yang sama untuk semua siswa 13. Materi sesuai dengan kebutuhan individu
14. Mengajar berisifat transmisi/transfer of 14. Murid menemukan dan membangun
knowledge struktur pengetahuan
15. Mendorong persaingan 15. Mendorong kerja-sama
16. Guru otoriter/mewajibkan 16 Kerjasama guru-murid-murid/kooperatif
17. Pendidikan uniformitas (penyeragaman) 17. Realitas hidup/mengakui perbedaan
18. Berorientasi kepada hasil 18. Hasil adalah juga termasuk prosesnya
19. Motivasi belajar bersifat eksternal 19. Motivasi belajar bersifat internal
20. Disiplin dan hukuman 20. Kesadaran dan tidak ada hukuman
21. Mencari jawaban benar 21. Jawaban salah bernilai pedagogis
22. Matematika sebagai ilmu kebenaran 22. Matematika sebagai proses berfikir
23. Pendidikan sebagai investasi 23. Pendidikan merupakan kebutuhan
24. Siswa sebagai empty vessel 24. Siswa perlu tumbuh dan berkembang
25. Metode mengajar tunggal 25. Metode mengajar barvariasi/fleksibel
26. Alat peraga sulit dikembangkan 26. Kreativitas guru dan lingkungan
bermanfaat untuk mengembangkan alat
27. Mengajar dengan tergesa-gesa 27. Sabar dan menunggu sampai siswa dapat
memahami konsep matematika

C. Menggalidan mengembangkan nilai-nilai matematika

Makna matematika merentang dari apa yang dipahami oleh Socrates, Plato, Immanuel Kant sampai filsafat kontemporer. Secara pragmatis, matematika dapat dipandang sebagai ilmu tentang dunia nyata dimana banyak konsep matematika muncul dari usaha manusia memecahkan persoalan dunia nyata misalnya pengukuran pada geometri, gerak benda pada kalkulus, perkiraan pada teori kemungkinan dll. Tetapi lebih dari itu, matematika juga digunakan untuk ilmu-ilmu lain, maka muncul pula istilah-istilah yang bersesuaian dengan ilmu-ilmu itu, misalnya yang berkaitan dengan mekanika, ilmu perbintangan, ilmu kimia, biologi dst. Kaum strukturalis mamandang matematika sebagai struktur yang bersifat abstrak yang tidak terkait dengan benda-benda fisik. Lambang-lambang yang digunakan di dalam struktur matematika juga tidak terkait dengan benda-benda fisik; lambang merupakan kesepakatan untuk menunjuk suatu makna atau arti, misal seperti yang terjadi pada struktur aljabar, teori group, teori ring, teori field, dst. Sementara itu metamatematika menggunakan bahasanya sendiri untuk menjelaskan matematika itu sendiri.

1. Pendekatan Ontologis Untuk Menjelaskan Matematika
Dalam kaitannya dengan matematika maka titik pangkal pendekatan ontologis adalah mencari pengertian menurut akar dan dasar terdalam dari kenyataan matematika. Namun kenyataan yang terdalam dari matematika itu sebenarnya apa? Apakah kenyataan matematika dimulai dari suatu titik nol, artinya suatu posisi di mana kita seakan-akan tidak mampu mendahului suatu posisi kenyataan matematika sebagai yang ada? Ataukah bahwa kenyataan matematika itu memang sudah tersedia yang senantiasa ada? Apakah kenyataan matematika bersifat actual atau factual? Pendekatan ontologis merupakan refleksi untuk menangkap kenyataan matematika sebagaimana kenyataan tersebut telah ditemukan. Dalam kesadaran akan dirinya maka orang yang memikirkan matematika adalah orang yang paling dekat dengan kenyataan matematika; dan dari sinilah maka dia dapat memulai untuk menemukan kenyataan seluruh matematika dan hubungan dirinya dengan matematika. Kenyataan matematika dapat dipahami seada-adanya dengan seluruh isi, kepadatan, otonomi dan potensi komunikasi baik secara material, formal, normatif maupun transenden. Kesadaran ontologis berusaha merefleksikan dan menginterpretasikan kenyataan matematika kemudian secara implisit menghadirkannya sebagai suatu pengetahuan yang berguna dalam pergaulan dengan orang lain serta secara eksplisit dapat dirumuskan dalam bentuk-bentuk formal untuk mendapatkan tema-tema yang bersesuaian.
Kenyataan matematika secara implisit telah termuat bersamaan dengan mengadanya pelaku matematika. Persoalan selanjutnya adalah bagaimana merumuskan secara formal kenyataan matematika yang bersifat implisit itu? Kemudian disadari bahwa mengadanya diri merupakan latar belakang terakhir yang memuat segala kenyataan matematika secara menyeluruh menjadi satu visi tentang kenyataan matematika. Dengan demikian, pendekatan ontologis berusaha memikirkan kembali pemahaman paling dalam tentang kenyataan matematika yang telah termuat di dalam kenyataan diri dan pengalaman konkretnya. Meneliti dasar paling umum dari matematika merupakan cara berpikir filsafat sebagai awal dan akhir dari refleksi kenyataan matematika. Pendekatan ontologis bergerak diantara dua kutub yaitu pengalaman akan adanya kenyataan matematika yang konkret dan kenyataan matematika sebagai mengada; di mana masing-masing kutub saling menjelaskan satu dengan yang lainnya.
Berdasarkan pengalaman tentang kenyataan matematika maka dapat disadari tentang hakekat mengada dari kenyataan matematika; tetapi mengadanya kenyataan matematika akan memberikan pengalaman konkret bagi diri tentang hakekat kenyataan matematika. Oleh karena itu pendekatan ontologis dalam memahami kenyataan matematika merupakan lingkaran hermenitik antara pengalaman dan mengada tanpa bisa dikatakan mana yang lebih dahulu. Pertangungan ontologis tidak dapat diberikan di muka melainkan akan tampak melalui uraian ontologis itu sendiri, artinya kajian matematika secara ontologis tidak dapat dimulai dengan cara menentukan definisi-definisi atau teorema-teorema tentang kenyataan dasar matematika karena hal demikian akan mempersempit batas-batas pemikiran dan dengan demikian akan menutup jalan pemikiran yang lain. Jadi penjelasan ontologis tentang kenyataan matematika hanya dapat ditampakan sambil menjalankan ontologi matematika sebagai suatu cabang filsafat matematika.

2. Pendekatan Epistemologis Untuk Menjelaskan Matematika

Pertanyaan epistemologis dapat diajukan misal dapatkah kita mendefinisikan matematika? Mendefinisikan berarti mengungkapkan sesuatu dengan ungkapan yang lain yang lebih dimengerti. Maka ketika kita berusaha mendefinisikan kita akan menjumpai “infinit regres” yaitu penjelasan tiada akhir dari pengertian yang dimaksud. Tentulah hal ini tidak mungkin dilakukan. Jika kita menginginkan dapat memperoleh pengetahuan tentang “hakekat matematika” maka pengetahuan demikian bersifat paling sederhana dan paling mendasar (sui generis). Pengetahuan matematika yang demikian tidak dapat disederhanakan lagi dan tidak dapat dijelaskan mengunakan ungkapan lainnya. Oleh karena itu pendekatan epistemologis perlu dikembangkan agar kita dapat mengetahui kedudukan matematika di dalam konteks keilmuan. Salah satu cara adalah dengan menggunakan bahasa “analog”. Dengan pendekatan ini maka kita mempunyai pemikiran bahwa “ada” nya matematika bersifat “analog” dengan “ada” nya obyek-obyek lain di dalam kajian filsafat. Jika pengetahuan yang lain kita sebut “ide” dan berada di dalam pikiran kita, maka matematika juga dapat dipadang sebagai “ide” yang berada di dalam pikiran kita. Jika kita berpikir suatu pengetahuan sebagai bentuk “kebahasaan” maka kita juga dapat berpikir bahwa matematika merupakan bentuk “kebahasaan”. Jadi pemikiran kita tentang filsafat umum bersifat “isomorphis” dengan pemikiran kita tentang Filsafat Matematika dan juga filsafat-filsafat ilmu yang lainnya. Dengan kata lain, kedudukan matematika bersifat “isomorphis” dengan pengetahuan-pengetahuan yang lain di dalam kajian filsafat.
Pertanyaan berikutnya adalah seberapa jauh peran pertimbangan subyek di dalam usahanya untuk menjelaskan konsep-konsep matematika; dan bagaimana kita bisa mengetahui bahwa pertimbangan demikian bersifat benar atau tidak? Apakah pertimbangan-pertimbangan demikian memerlukan “eviden” atau tidak. Jika “ya” maka apa sebetulnya yang disebut eviden atau eviden matematika? Dari pertanyaan-pertanyaan ini jelas kita telah menemukan jarak antara pertimbangan dan eviden. Immanuel Kant menjelaskan bahwa pengetahuan kita pada umumnya dan juga pengetahuan tentang matematika merupakan pertemuan antara pengetahuan yang bersifat “superserve” dan pengetahuan yang bersifat “subserve”. Pengetahuan matematika yang bersifat subserve berasal dari eviden; sedangkan pengetahuan matematika yang bersifat superserve berasal dari imanensi di dalam pikiran kita. Menurut Kant, pertimbangan adalah tahap terakhir dari proses berpikir; tahap terakhir inilah yang menghasilkan pengetahuan. Jadi Kant ingin mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang pertimbangan itu sendiri.
Menurut Immanuel Kant, awal dari pengetahuan matematika adalah “kesadaran tentang makna matematika”. Kesadaran demikian dianggap sebagai wadah dari kenyataan matematika. Kesadaran matematika selalu bersifat bi-polar yaitu sadar akan makna matematika. Kesadaran itu berada di akal budi kita “reason”. Maka bila kenyataan matematika berada di dalam kesadaranku, maka pengetahuan matematika telah berada di dalam akal budiku. Maka terdapat jarak antara isi yaitu kenyataan matematika dan wadah yaitu akal budiku. Di dalam jarak itulah terdapat intusi “ruang” dan “waktu”. Jadi pengetahuanku tentang matematika berada di dalam intuisi ruang dan waktu. Seorang eksistensialis mungkin kemudian meragukan tentang pengetahuan matematika disebabkan meragukan eksistensi dirinya sendiri. Menurutnya pengetahuan selalu dikondisikan oleh eksistensi pelakunya. Maka jika berbicara mengenai matematika yang nyata maka apa pula yang nyata untuk dirinya. Eksistensialis berpandangan bahwa eksistensi dirinya bersifat terbuka terhadap dunia dan dunia dapat diungkapkan melalui pertanyaan. Jadi aku adalah pertanyaanku dan matematika adalah pertanyaanku tentang dianya di dalam diriku. Pertanyaan selanjutnya bagaimanakah kesadaran diriku bisa menggapai kenyataan matematika? Bagaimana aku bisa membuktikan keyakinanku bahwa aku dapat mengetahui kenyataan matematika sebagai kenyataan yang lain dariku? Apakah kesadaranku tentang yang lain dapat dibedakan dari kesadaranku tentang kenyataan matematika?
“Pure Reason” sebagai akal budi yang murni telah dibahas panjang lebar oleh Immanuelm Kant sebagai upaya menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas. Jika kita memulai dengan akal budi yang murni yaitu akal budi yang masih bersih dan terbebas dari segala macam beban kesadaran maka kita dihadapkan pada pertanyaan awal tentang hakekat matematika; tetapi jika kita memulai dengan akal budi yang tidak murni maka kita langsung terlibat dengan kesadaran yang lainnya selain kesadaran tentang kenyataan matematika. Dari kontradiksi ini maka dirasakan perlunya terdapat solusi. Di satu sisi akal budi yang murni akan menghasilkan kesadaran tentang kenyataan matematika, yaitu sebagai kenyatan yang bersifat “a priori” namun di sisi yang lain kita memerlukan “eviden” yang berasal dari pengalaman manusia yang menghasilkan kenyataan matematika sebagai kenyataan “sintetik”. Jadi adanya kenyataan matematika di dalam akal budi kita tidak bisa kita lepaskan dari adanya eviden dari pengalaman kita. Benarlah bahwa menurut Immanueal Kant, kenyataan matematika bersifat “sintetik a priori”.
Seorang realisme naif akan merasa aman dengan pandangan umum bahwa matematika berada di luar dirinya baik ketika matematika ditampilkan kepada dirinya melalui persepsi inderawi ataupun ketika tidak ditampilkan sekalipun. Matematika yang ditampilkan oleh orang lain ada persis, di sana, di luar dirinya yang dapat diulang dan dapat dipikirkan oleh orang lain. Matematika yang ditampilkan dialami begitu saja, tidak ada kaitan dengan kualitas dan keadaan dirinya serta tidak memerlukan pemikiran refleksif dan tidak perlu dipermasalahkan keberadaannya yang ada di sana, di luar dirinya. Matematika adalah benda di luar dirinya; saya berhadapan dengannya. Matematika sebagai benda dapat merupakan syarat dan rintangan bagi tindakan saya. Tindakan-tindakan saya dapat tidak sesuai dengan matematika yang ada di sana dan saya dapat melakukan resistensi atau penolakan terhadap sifat-sifat matematika yang ada di sana; dan saya mengakui keberadaan matematika di sana yang bersifat obyektif yaitu benar bagi semuanya.
Tetapi ketika kita harus menentukan dan menjawab sifat-sifat dasar apakah yang dapat diungkapkan dari kenyataan matematika yang ada di sana, maka kaum realisme naif akan mundur selangkah karena jawabannya akan melibatkan sifat-sifat yang melekat pada keberadaan dirinya yang ada di sini. Saya terpaksa harus membedakan antara kenyataan diri saya yang ada di sini dengan kenyataan matematika yang ada di sana. Inilah awal dari kesadaran refleksif seorang realisme naif yang diingatkan oleh seorang John Locke bahwa matematika yang dianggap berada di sana tidak lain adalah sebuah ide yang berada di sini yaitu yang berada di dalam pikiran subyek. Bahkan Berkeley menyatakan bahwa eksistensi matematika tidak dapat dipahami kecuali dengan ide-ide; pengalaman selalu berakhir di dalam ide-ide. Semua hal yang dianggap bereksistensi adalah apa yang kita alami secara langsung; satu-satunya arti bagi ada adalah yang ditangkap dengan persepsi “esse est percipi”. Maka keberadaan matematika sebagai obyek tergantung dari keberadaanku sebagai budi.

3. Pendekatan Aksiologis Untuk Menjelaskan Matematika

Pendekatan aksiologis mempelajari secara filosofis hakekat nilai atau value dari matematika. Apakah matematika sebagai kenyataan yang bernilai atau yang diberi nilai? Apakah nilai dari kenyataan matematika bersifat intrinsik, ekstrinsik atau sistemik? Apakah nilai matematika bersifat pragmatis atau semantik? Apakah nilai matematika bersifat subyektif atau obyektif? Apakah nilai matematika bersifat hakiki atau sementara? Apakah nilai matematika bersifat bebas atau tergantung? Apakah nilai matematika bersifat tunggal atau jamak? Apakah terdapat unsur keindahan di dalam kenyataan matematika, dan bagaimana hubungan kenyataan matematika dengan seni? Adakah tanggung jawab diri terhadap kenyataan matematika? Penyelidikan tentang nilai-nilai yang terkandung di dalam kenyataan matematika telah lakukan sejak filsafat kontemporer.
Menurut Hartman, nilai adalah fenomena atau konsep; nilai sesuatu ditentukan oleh sejauh mana fenomena atau konsep itu sampai kepada makna atau arti. Menurutnya, nilai matematika paling sedikit memuat empat dimensi: matematika mempunyai nilai karena maknanya, matematika mempunyai nilai karena keunikannya, matematika mempunyai nilai karena tujuannya, dan matematika mempunyai nilai karena fungsinya. Tiap-tiap dimensi nilai matematika tersebut selalu terkait dengan sifat nilai yang bersifat intrinsik, ekstrinsik atau sistemik. Jika seseorang menguasai matematika hanya untuk dirinya maka pengetahuan matematikanya bersifat intrinsik; jika dia bisa menerapkan matematika untuk kehidupan sehari-hari maka pengetahuanmatematika bersifat ekstrinsik; dan jika dia dapat mengembangkan matematika dalam kancah pergaulan masyarakat matematika maka pengetahuan matematikanya bersifat sistemik.
Kita dapat menggambarkan hirarkhi nilai matematika seseorang dengandiagram sederhana sebagai berikut:
Jika S adalah nilai matematika yang bersifat sistemik maka tentu akan memuat
nilai matematika yang bersifat ekstrinsik (E) maka S memuat E, atau dapat
ditulis secara matematis S  E.
Setiap nilai ekstrinsik matematika pastilah didukung oleh nilai intrinsiknya (I),
jadi nilai ekstrinsik memuat nilai intrinsik, dan dapat ditulis secara matematis
sebagai E  I.
Akhirnya hubungan antara ketiga nilai dapat digambarkan sebagai: S  E  I,
artinya, S memuat E memuat I.
Menurut Moore di dalam Hartman, nilai matematika dapat digunakan untuk mengembangkan pertimbangan mengenai kapasitas matematika. Pertimbangan demikian bukanlah untuk mengetahui bagaimana seseorang memikirkan matematika atau apa yang seseorang pikirkan tetapi untuk mengetahui mengapa seseorang memikirkan matematika. Pertimbangan demikian akhirnya mengarah kepada refleksi pemikiran tentang dasar-dasar dan filsafat matematika. Pertanyaan kemudian muncul bagaimanakah tentang sifat dari nilai matematika itu? Apakah nilai matematika bersifat obyektif atau subyektif? Apakah nilai matematika terikat dengan dengan latar belakang diri, sosial, agama, suku bangsa?
Hubungan antara nilai intrinsik, ekstrinsik dan sistemik dapat diadaptasi dari diagram yang dibuat oleh Ernest, P. (1991) seperti tampak sebagai berikut:

Interaksi sosial diantara para matematikawan dapat memberi kesempatan untuk memproduksi tesis dan anti-tesis konsep matematika; dan hal yang demikian dapat terjadi adanya de-konstruksi konsep kenyataan matematika dan dilanjutkan dengan de-konstruksi nilai instrinsik matematika. Dengan demikian tampak hubunga nilai matematika yang bersifat subyektif dan nilai matematika yang bersifat obyektif. Jadi interakso sosial diperlukan agar diri dapat memperoleh nilai extrinsik atau nilai sistemik.

D. Menuju standar internasional

Apapun tentang standard, kita dapat memikirkannya tentang pencapaian hasil dibandingkan dengan hasil lain yang serumpun atau sejenis, atau disisi lain suatu proses dimana nilai-nilai awal merupakan pondasi sekaligus kekuatan untuk memperoleh standar. Terdapat berbagai macam kriteria mengenai standar internasional. Dalam bidang pendidikan maka baik standar nasional maupun standar internasional dapat dikembangkan melalui ranah kurikulum dan silabus, kemampuan pendidikan, kesiapan fasilitas pendukung, buku-buku penunjang, bahasa pengantar (Bahasa Inggris), kerjasama nasional dan internasional, pengakuan dari institusi-institusi terpercaya, jumlah dan kualitas lulusan, dst. Namun apakah hanya tentang hal-hal tersebut di atas itulah tentang standard internasional. Paling tidak kita dapat menelaah stantad internasional dari sisi legalitas dan dari sisi substantial. Dari sisi legalitas memang sangat diperlukan pengakuan dunia tentang suatu institusi kependidikan tertentu. Tetapi pengakuan tersebut tidaklah mungkin dapat dicapai jika tidak dibarengi dengan kemampuan substantial. Hal-hal yang melandasi kemampuan substantial meliputi: reformasi paradigma, pandanga tentang hakekat matematika, hakekat matematika sekolah, hakekat siswa belajar matematika, hakekat metode pembelajaran, hakekat sumber-sumber ajar, hakekat asesment, dst. Narasi besar internasional dalam bidang pendidikan matematika adalah pembelajaran yang demokratis, pemberdayaan siswa (student oriented), variasi metode, variasi kegiatan, pembelajaran yang fleksibel, terbebas dari isue HAM,gender,lingkungan dst. Standar internasional pembelajaran matematika menuntut metode pembelajaran yang fleksibel antara lain : metode eksposisi oleh guru; metode diskusi, antara guru dengan murid dan antara murid dengan murid; metode pemecahan masalah (problem solving); metode penemuan(investigasi); metode latihan dasar ketrampilan dan prinsip-prinsip; metode penerapan.
Berikut merupaka rambu-rambu apakah sustu institusi dapat mencapai kriteria internasional

• Tersedianya kriteria acuan internasional
• Tersosialisasinya kriteria acuan internasional
• Adanya Rencana Strategis pengembangan berstandar internasional
• Terbentuknya berstandar internasional sesuai kriteria
• Terselenggaranya berstandar internasional
• Diterbitkannya hasil Monev pelaksanaan berstandar internasional
• Diperolehnya bechmarking kurikulum berstandar internasional
• Tersedianya rambu-rambu pengembangan kurikulum internasional tingkat universitas
• Tersosialisasikannya rambu-rambu pengembangan kurikulum internasional tingkat universitas
• Tersedianya dokumen kurikulum berstandar internasional
• Tersedianya dokumen silabus berstandar internasional
• Diimplementasikannya kurikulum berstandar internasional
• Dilakukannya monitoring dan evalusi implementasi kurikulum berstandar internasional
• Dilakukannya dan diterbitkannya hasil evaluasi rambu-rambu pengembangan kurikulum internasional tingkat universitas
• Dilakukanya revisi kurikulum dan silabus berstandar internasional
• Tersedianya panduan setting kelas berstandar internasional
• Tersedianya panduan pengembangan pembelajaran berstandar internasional
• Terlaksananya kegiatan training/pelatihan bagi tenaga pendidik untuk inovasi atau update metode dan model pembelajaran.
• Terlaksananya training atau kursus untuk meningkatkan kemampuan Bahasa Inggris para tenaga pendidik (TOEFL, IELTS, Academic Skill writing)
• Tersedianya fasilitas dan berbagai macam media pembelajaran untuk mendukung pbm berstandar internasional
• Tersedianya panduan pembimbingan subyek didik kelas internasional yang meliputi hak dan kewajiban pembimbing, hak dan kewajiban subyek didik serta layanan bimbingan konseling belajar
• Tersedianya panduan praktikum di kampus bagi subyek didik kelas internasional.
• Adanya kerjasama internasional bagi para tenaga pendidik kelas internasional untuk meningkatkan kemampuannya.
• Tersedianya panduan manajemen kelas dan lingkungan belajar yang efektif dan efisien
• Adanya instrumen/alat ukur standar untuk mengevaluasi proses belajar mengajar di setiap
• Tersedianya hasil benchmarking pengembangan sistem penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional
• Tersedianya rambu-rambu pengembangan sistem penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional
• Tersedianya instrumen penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional
• Diimplementasikannya penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional
• Dilakukannya validasi dan benchmarking lanjut instrumen penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional
• Dilakukannya dan tersedianya hasil monitoring implementasi penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional
• Dipublikasikannya hasil pengembangan sistem dan hasil penilaian hasil belajar subyek didik kelas internasional untuk mewujudkan akuntabilitas INSTITUSI
• Perencanaanbahan ajar bertaraf internasional
• Penulisan bahan ajar bertaraf internasional
• Penggandaan bahan ajar bertaraf internasional
• Media elektronik bertaraf internasional
• Media cetak bertaraf internasional
• Tersedianya Rambu-rambu Pengembangan Tenaga pendidik
• Tersosialisasikannya Rambu-rambu Pengembangan Tenaga pendidik
• Tersusunnya Peta Pengembangan dan Bidang Keahlian Tenaga pendidik
• Minimal 50 tenaga pendidik mampu berbahasa Asing/Inggris sehingga memenuhi syarat untuk Magang/Sabatical Leave/studi lanjut ke luar negeri
• Terkirimnya 12 orang tenaga pendidik/tahun untuk Magang/Sabatical Leave/studi lanjut ke luar negeri
• Tersedianya rambu-rambu sarana dan prasarana
• Tersosialisasikannya rambu-rambu sarana dan prasarana
• Tersedianya kelas teori dan kelas praktek yang nyaman dan memungkinkan kegiatan pembelajaran berjalan dengan baik
• Tersedianya laboratorium yang dapat digunakan oleh subyek didik dan tenaga pendidik untuk pengembangan ilmu kependidikan
• Tersedianya perpustakaan yang merupakan pusat informasi yang di dalamnya tersedia berbagai alat informasi untuk menunjang kelancaran akademik.( buku wajib, referensi, majalah, surat kabar dalam dan luar negeri, buletin, skripsi, tesis, desertasi, book counter)
• Tersedianya ruang khusus yang dapat digunakan oleh subyek didik untuk mengembangkan kreativitasnya.
• Dikembangkan dan diimplementasikan secara efektif dan berkesinambungan
• Sistem Data Base dalam menunjang tata kelola INSTITUSI
• Dikembangkan dan diimplementasikan secara efektif dan berkesinambungan
• Standard Operational Procedure (SOP) dalam menunjang tata kelola INSTITUSI
• Dikembangkan dan diimplementasikan secara efektif dan berkesinambungan
• Sistem Informasi Manajemen (SIM) dalam bentuk Website
• Dikembangkan dan diimplementasikan secara efektif dan berkesinambungan
• Learning Management System (LMS)
• Diterapkannya ISO 9001-2000 untuk menunjang tata kelola INSTITUSI
• Tersedianya rambu-rambu pengembangan perpustakaan berstandar internasional di tingkat universitas dan fakultas
• Tersosialisasikannya rambu-rambu pengembangan perpustakaan berstandar internasional di tingkat universitas dan fakultas
• Pustakawan dan tenaga administrasi yang menguasai dan terampil menggunakan ITC perpustakaan
• Sarana dan prasarana layanan perpustakaan yang tertata dan memadai untuk layanan internasional.
• Tersedianya koleksi perpustakaan yang lengkap, mutakhir, yang memiliki aksesabilitas tinggi secara online.
• Kualitas layanan perpustakaan yang makin meningkat di level internasional.
• Terwujudnya sistem komunikasi dan pemasaran perpustakaan yang mantap di kawasan internasional.
• Terimplementasikannya perpustakaan berstandar internasional di tingkat universitas dan fakultas
• Terlaksananya Monitoring dan Evalusi Implementasi perpustakaan berstandar internasional di tingkat universitas dan fakultas
• Adanya sistem seleksi penerimaan subyek didik untuk program internasional.
• Terselenggaranya program-program pengembanagan kompetensi akademik mahasswa menuju INSTITUSI
• Terselenggaranya program-program pengembangan kompetensi sikap dan kepribadian subyek didik menuju INSTITUSI
• Terselenggaranya program program pengembangan bakat dan hobi subyek didik menuju INSTITUSI
• Subyek didik dan lulusan dengan kompetensi akademik yang diakui oleh dunia internasional.
• Lulusan dengan sikap dan kepribadian sosial dan profesional yang berterima dalam masyarakat interasional.
• subyek didik dan lulusan dengan kemampuan dan prestasi seni, olahraga, dan lainnya yang dikenal oleh masyarakat internasional (internationally recognized)
• Lulusan yang unggul dan berterima serta mempunyai posisi tawar (bargaining position) di pasar kerja intrenasional.
• Dilakukan dan tersedianya hasil benchmarking kegiatan penelitian dan kegiatan ilmiah berstandar internasional
• Tersedianya rambu-rambu pengembangan kegiatan penelitian dan kegiatan ilmiah berstandar internasional
• Meningkatnya jumlah tenaga pendidik yang berkualifikasi internasional dalam melakukan kegiatan penelitian dan kegiatan ilmiah
• Dilakukannya kegiatan penelitian dan publikasi ilmiah berstandar internasional
• Adanya kerjasama dan networking dengan konsorsium, organisasi profesi dan institusi internasional dalam pengembangan kegiatan penelitian dan kegiatan ilmiah berstandar internasional.
• Meningkatnya jumlah hasil penelitian dan kegiatan ilmiah berstandar internasional yang termuat di dalam Jurnal/Publikasi ilmiah.
• Tersedianya rambu-rambu pelaksanaan pengabdian pada masyarakat berstandar internasional
• Tersosialisasinya rambu-rambu pelaksanaan pengabdian pada masyarakat berstandar internasional
• Tersedianya dokumen pelaksanaan pengabdian pada masyarakat berstandar internasional
• Terjalinnya kemitraan dalam pelaksanaan pengabdian pada masyarakat dengan lembaga lokal dan internasional.
• Diimplementasikannya pelaksanaan pengabdian pada masyarakat berstandar Internasional
• Terjalin kerjasama dengan berbagai institusi kependidikan di luar negeri
• Pengiriman/pertukaran tenaga pendidik dari dan ke luar negeri
• Pengiriman/pertukaran subyek didik dari dan ke luar negeri
• Pengiriman karyawan ke luar negeri
• Terselenggaranya pameran karya dan produk di luar negeri

E. Kesimpulan

Reformasi pendidikan nasional dapat dilakukan pada dua level yaitu secara makro dan secara mikro. Secara makro, reformasi pendidikan nasional harus dapat memperbaharui visi dan mengembangkan paradigma kependidikan serta mengikis habis kendala-kendala penyelenggaraan pendidikan dengan tetap mempertahankan dan meningkatkan mutu dan profesionalisme dan pemberdayaan masyarakat menuju Indonesia Baru yaitu Indonesia yang terbuka, demokratis dan bersatu. Bagi seorang praktisi kependidikan (guru), reformasi pendidikan pada level makro untuk bebera hal adalah di luar jangkauan pemikirannya dan kemampuannya. Namun mengingat guru adalah penentu keberhasilan pendidikan, maka guru dapat berperan obyek sekaligus subyek dari reformasi pendidikan dengan cara meningkatkan kemampuan mendidik dan mengelola kelas. Tetapi kenyataanya mendidik tidaklah mudah karena siswa mendapatkan bahwa belajar memang tidaklah mudah. Masih terdapat celah yang cukup besar antara idealisme mendidik dan praktek di lapangan.
Nilai matematika dapat dilihat dari konteks ontologis, epistemologis dan aksiologis dalam batas-batas nilai intrinsik, extrinsik dan sistemik. Bagi seorang diri pebelajar matematika maka nilai matematika yang paling rendah adalah jika hanya digunakan sendiri, nilai yang lebih tinggi jika matematika dapat digunakan untuk kepentingan umum. Tetapi nilai matematika tertinggi adalah jika secara sistemik dapat digunakan untuk kepentingan yang lebih luas. Tetapi nilai-nilai matematika yang dikembangkan harus dibarengi dengan berpikir kritis karena matematika tidak lain tidak bukan adalah berpikir kritis itu sendiri. Ketajaman matematika mampu menerawang masa depan melalui konsep teleologi bahwa apa yang terjadi di masa depan setidaknya dapat dipotret melalui masa sekarang. Namun demikian masih terdapat nilai-nilai yang lain yang kaitannya dengan tingkatan kualitas. Pada kualitas pertama maka nilai matematika hanya tampak pada sisi luarnya saja, tetapi pada kualitas kedua dan ketiga dan seterusnya maka nilai matematika sudah bersifat metafisik. Dengan berpikir analog maka apa yang terjadi pada pengungkapan nilai matematika dapat digunakan pula pada pengungkapan nilai-nilai luhur bangsa. Nilai luhur bangsadapat digapai kembali tidak lain tidak bukan hanyalah dengan metode menterjemahkan dan diterjemahkan dari konteks perjalanan waktu lampau, sekarang dan akan datang. Inilah yang kemudian dikenal orang dengan metode hermenitika.
Dalam bidang pendidikan, guru perlu secara terus menerus mengevaluasi kekurangan atau kelebihan mengajarnya supaya mendapatkan informasi bagi penyempurnaan mengajarnya; kalau perlu mempelajari teknik-teknik baru yang lebih menarik dan efektif (Alexander, dkk, dalam Bourne, 1992). Untuk itu guru perlu mendapat dorongan dan bantuan dari pihak-pihak yang terkait terutama Kepala Sekolah dan Penilik sekolah, agar mereka dapat mewujudkan pengajaran secara baik; namun perlu kiranya peran dan fungsi Kepala Sekolah, Penilik dan Pengawas diredefinisikan kembali agar kondisi lingkungan kependidikan lebih kondusif bagi guru dan siswa untuk mengembangkan dirinya. Seorang guru dapat merefleksikan gaya mengajar secara baik dan fleksibel jika guru yang bersangkutan menguasai cara-cara mengorganisasikan kelas, memanfaatkan sumber ajar, pencapaian tujuan pengajaran sesuai dengan kemampuan siswa, pengembangan sistem evaluasi, penanganan perbedaan individual, dan mewujudkan suatu gaya mengajar tertentu sesuai dengan kebutuhan. Diperlukan suatu ‘political will’ dari pemerintah untuk menempatkan pendidikan yang dikembalikan kepada hakekat ‘mendidik’ sesuai dengan hakekat ‘subjek didik’ dan hakekat ‘keilmuan’, agar pendidikan tidak hanya dipandang sebagai sesuatu yang ‘diwajibkan’ tetapi sesuatu yang ‘dibutuhkan’ oleh sibelajar, agar pendidikan tidak hanya memandang subyek didik sebagai ‘investasi’ pembangunan tetapi sebagai subyek yang perlu ‘dikembangkan’.

Daftar Pustaka

Bourne, J., 1(994), Thinking Through Primary Practice, London : Routledge
Delamont, S., (1987), The Primary School Teacher, London: The Falmer Press.
Dunbar, R, (1991), Distance Education, Vol 12 Number 2
Fullan, M.G., (1991), The New Meaning of Educational Change, London : Cassell Educational Limited
Grouws, A.D. dan Cooney, J.T, (1988), Effective Mathematics Teaching: Volume I, Virginia: The NCTM, Inc.
Jaworski, B., (1994), Investigating Mathematics Teaching: A Constructivist Enquiry, London: The Falmer Press.
Jomtien, B, (1994), Implementing Primary Education for All, London: The Macmillan Press Ltd.
Marsigit, (1966), Investigating Good Practice In Primary Mathematics Education: Case- studies and Survey of Indonesian Styles of Primary Mathematics Teaching, Dissertation.
Susanta, A.S, (1997), Komunikasi dan Budaya, Jurnal 9 dan 10
Tilaar, H.A.R, (1999), Beberapa Agenda Reformasi Pendidikan Nasional : Dalam Perspektif Abad 21, Magelang : Tiara Indonesia
Bourne, J., 1994, Thingking Through Primary Practice, London: The Open University.
Brady, L., 1992, Curriculum development. (4th ed.) New York: Prentice-Hall.
Direktorat PLP,2002, Pendekatankontekstual(Contextual teaching and learning(CTL)), Jakarta: Ditjen Dikdasmen, Depdiknas
Ebbut, s. & Straker, A 1995, Children and mathematics: Mathematic in primary school, Part 1. London: Collins Educational
Elliot, J., 1991, Action Research for Educational Change, Philadelpia : Open University Press.
Ernest, P, 1991, The philosophy of mathematics education. London: The Falmer Press.
Gronlund, N.E., 1976, Measurement & Evaluation in Teaching, New York: Macmillan publishing Co., Inc.
Grouws, D.A, 1992, Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning,
New York : Macmillan Publishing Company.
Hopkins, D., 1993, A Teacher’s Guide to Classroom Research, Buckingham: Open University Press.
Jarworski, B, 1994, Investigating mathematics teaching : A constructivist enquiry. London : The Falmer Press.
Marsigit, 1996, Investigating Good Practice in Primary Mathematics Education: Case- Studie and Survey of Indonesian Styles of Primary Mathematics Teaching,
London : University of London.
Nasution, S, 1992, Metode Penelitian Naturalistik Kualitatif, Bandung: Tarsito.
Proctor, A., dkk, 1995, Learning to Teach in the Primary Classroom, London : Routledge
Weil, M dan Joice B, 1978, Social Models of Teaching, New Jersey : Prentice Hall